Belirsiz integral nedir Test 2

∫(3x² + 2x - 5)dx belirsiz integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x³ + x² - 5x
B) x³ + x² - 5x + C
C) 6x + 2
D) 3x³ + 2x² - 5x + C

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün sizlerle belirsiz integral konusunu pekiştirecek harika bir soru çözeceğiz. Belirsiz integral, bir fonksiyonun türevi alınmadan önceki halini bulma işlemidir. Yani, bize verilen fonksiyon hangi fonksiyonun türevidir diye düşünüyoruz. Hazırsanız, adım adım çözümümüze başlayalım.

• Öncelikle, bize verilen integral ifadesini inceleyelim: $\int(3x^2 + 2x - 5)dx$. Bu ifade, $3x^2 + 2x - 5$ fonksiyonunun belirsiz integralini bulmamız gerektiğini söylüyor.

• Belirsiz integral alırken, toplama ve çıkarma işlemlerinde integrali terimlere ayırabiliriz. Yani, $\int(f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$ kuralını uygulayabiliriz. Bu durumda integralimiz şöyle olur:

  $\int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 5 dx$

• Şimdi her bir terimin integralini ayrı ayrı alalım. İntegral alırken kullanacağımız temel kural, kuvvet kuralıdır: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$ ve $C$ integral sabitidir). Ayrıca, bir sabitle çarpılmış fonksiyonun integralini alırken sabiti integral dışına çıkarabiliriz: $\int c \cdot f(x)dx = c \cdot \int f(x)dx$.

• Birinci terim: $\int 3x^2 dx$

  • Sabit olan $3$'ü dışarı alalım: $3 \int x^2 dx$.
  • $x^2$ için kuvvet kuralını uygulayalım ($n=2$): $3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3}$.
  • Sadeleştirme yaparsak: $x^3$.

• İkinci terim: $\int 2x dx$

  • Sabit olan $2$'yi dışarı alalım: $2 \int x^1 dx$.
  • $x^1$ için kuvvet kuralını uygulayalım ($n=1$): $2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2}$.
  • Sadeleştirme yaparsak: $x^2$.

• Üçüncü terim: $\int -5 dx$

  • Bir sabit sayının integrali, o sayının $x$ ile çarpımıdır. Yani $\int c dx = cx$.
  • Bu durumda $\int -5 dx = -5x$.

• Şimdi bulduğumuz tüm terimleri bir araya getirelim:

  $x^3 + x^2 - 5x$

• Unutmamamız gereken en önemli şeylerden biri de belirsiz integralin sabitidir. Her belirsiz integralin sonucuna bir $+C$ eklememiz gerekir. Çünkü türevi $0$ olan tüm sabit sayılar integral alındığında kaybolur ve biz hangi sabit sayının kaybolduğunu bilemeyiz. Bu yüzden genel bir $C$ sabiti ekleriz.

• Sonuç olarak, integralimizin cevabı:

  $x^3 + x^2 - 5x + C$

• Şimdi seçeneklerimize bakalım ve bulduğumuz sonuçla eşleşen seçeneği işaretleyelim.

Cevap B seçeneğidir.