Bir öğrenci ∫(x² + 3x)dx integralini çözerken sonucu (x³/3) + (3x²/2) + C olarak bulmuştur.
Bu çözümle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Çözüm doğrudur
B) Sabit terim eksiktir
C) İntegral sabiti unutulmuştur
D) Katsayılar yanlış hesaplanmıştır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir öğrencinin belirsiz integral çözümünü değerlendireceğiz. İntegral alma kurallarını hatırlayarak adım adım ilerleyelim.
- Öncelikle, çözmemiz gereken integral $\int(x^2 + 3x)dx$ şeklindedir.
- Belirsiz integral alırken kullandığımız temel kurallardan biri kuvvet kuralıdır: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$).
- Ayrıca, bir toplamın integralini alırken, her terimin integralini ayrı ayrı alabiliriz: $\int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$.
- Sabit bir sayının bir fonksiyonla çarpımının integralini alırken, sabiti integral dışına çıkarabiliriz: $\int c \cdot f(x)dx = c \cdot \int f(x)dx$.
- Şimdi bu kuralları integralimize uygulayalım:
- $\int(x^2 + 3x)dx = \int x^2 dx + \int 3x dx$
- İlk terim için ($x^2$): Burada $n=2$'dir. Kuvvet kuralını uyguladığımızda: $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
- İkinci terim için ($3x$): Burada $3$ bir sabittir ve $x$'in kuvveti $1$'dir ($x^1$). Sabit çarpan kuralını ve ardından kuvvet kuralını uyguladığımızda: $\int 3x dx = 3 \int x^1 dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2}$.
- Her iki terimin integralini aldıktan sonra, bu belirsiz integral olduğu için bir integral sabiti ($C$) eklemeyi unutmamalıyız.
- Böylece, integralin doğru çözümü şu şekilde olur: $\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$.
- Şimdi öğrencinin bulduğu sonuca bakalım: $(x^3/3) + (3x^2/2) + C$.
- Gördüğümüz gibi, öğrencinin bulduğu sonuç, bizim adım adım uyguladığımız kurallarla elde ettiğimiz doğru çözümle tamamen aynıdır. Hem terimlerin integralleri hem de integral sabiti doğru bir şekilde hesaplanmıştır.
Bu durumda, öğrencinin çözümü doğrudur.
Cevap A seçeneğidir.
