\( E = \{ x \mid -1 < x \leq 4 \} \) ve \( F = \{ x \mid 2 \leq x < 6 \} \) kümeleri veriliyor. \( E \cup F \) kümesinin sayı doğrusunda gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-1, 6) \)Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen kümeleri aralık gösterimiyle yazalım ve ardından birleşim kümesinin ne anlama geldiğini hatırlayarak sayı doğrusunda gösterelim.
Verilen $ E $ kümesi $ E = \{ x \mid -1 < x \leq 4 \} $ şeklindedir. Bu ifade, $ x $ değerlerinin $-1$'den büyük ve $4$'e eşit veya $4$'ten küçük olduğunu belirtir. Aralık gösterimiyle bu küme $ (-1, 4] $ olarak yazılır. Burada parantez $ ( $ açık aralığı (sınır dahil değil), köşeli parantez $ ] $ ise kapalı aralığı (sınır dahil) ifade eder.
Verilen $ F $ kümesi $ F = \{ x \mid 2 \leq x < 6 \} $ şeklindedir. Bu ifade, $ x $ değerlerinin $2$'ye eşit veya $2$'den büyük ve $6$'dan küçük olduğunu belirtir. Aralık gösterimiyle bu küme $ [2, 6) $ olarak yazılır. Burada köşeli parantez $ [ $ kapalı aralığı (sınır dahil), parantez $ ) $ ise açık aralığı (sınır dahil değil) ifade eder.
İki kümenin birleşimi ($ E \cup F $), bu kümelerden en az birinde bulunan tüm elemanları içeren kümedir. Sayı doğrusunda düşündüğümüzde, bu, her iki kümenin kapladığı tüm bölgelerin birleştirilmesi anlamına gelir.
Şimdi $ E = (-1, 4] $ ve $ F = [2, 6) $ kümelerini sayı doğrusunda düşünelim:
Bu iki bölgeyi birleştirdiğimizde, en soldaki sınır $-1$ (dahil değil) ve en sağdaki sınır $6$ (dahil değil) olacaktır. Aradaki tüm sayılar, $E$ veya $F$ kümesinde yer aldıkları için birleşim kümesine dahil olacaktır.
Yani, birleşim kümesi $-1$'den başlar ($-1$ dahil değil) ve $6$'da biter ($6$ dahil değil). Bu da $ (-1, 6) $ aralığına karşılık gelir.
Bulduğumuz $ E \cup F = (-1, 6) $ aralığı, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
