2. İki üçgenin eş olabilmesi için aşağıdaki koşullardan hangisi yeterli değildir?
A) İki kenar ve bu kenarların oluşturduğu açının eş olması
B) İki açı ve bu açıların arasındaki kenarın eş olması
C) Üç kenar uzunluğunun eş olması
D) İki açı ve bir kenarın eş olması
Merhaba sevgili öğrenciler!
İki üçgenin eş olabilmesi için belirli koşulların sağlanması gerekir. Bu koşullara "eşlik aksiyomları" veya "eşlik teoremleri" denir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyerek hangi koşulun yeterli olup olmadığını bulalım.
- A) İki kenar ve bu kenarların oluşturduğu açının eş olması (Kenar-Açı-Kenar - KAK eşliği):
- Bu koşul, iki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu iki kenar arasında kalan açısı eşitse, üçgenlerin eş olduğunu belirtir.
- Örneğin, $\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$ üçgenlerinde $AB = DE$, $AC = DF$ ve $\angle A = \angle D$ ise bu üçgenler eştir.
- Bu koşul, üçgenlerin eşliği için yeterlidir.
- B) İki açı ve bu açıların arasındaki kenarın eş olması (Açı-Kenar-Açı - AKA eşliği):
- Bu koşul, iki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu iki açı arasında kalan kenarı eşitse, üçgenlerin eş olduğunu belirtir.
- Örneğin, $\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$ üçgenlerinde $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$ ve $AB = DE$ ise bu üçgenler eştir.
- Bu koşul, üçgenlerin eşliği için yeterlidir.
- C) Üç kenar uzunluğunun eş olması (Kenar-Kenar-Kenar - KKK eşliği):
- Bu koşul, iki üçgenin karşılıklı üç kenarının uzunlukları eşitse, üçgenlerin eş olduğunu belirtir.
- Örneğin, $\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$ üçgenlerinde $AB = DE$, $BC = EF$ ve $AC = DF$ ise bu üçgenler eştir.
- Bu koşul, üçgenlerin eşliği için yeterlidir.
- D) İki açı ve bir kenarın eş olması:
- Bu koşul, ilk bakışta "Açı-Açı-Kenar (AAK)" eşliği gibi görünebilir. AAK eşliği de aslında AKA eşliğinden türetilebilen ve üçgenlerin eşliği için yeterli olan bir durumdur (eğer iki açı eşitse üçüncü açı da eşit olacağından, her zaman bir AKA durumu oluşturulabilir).
- Ancak, bu seçenekteki ifade "bir kenarın eş olması" şeklinde genel ve belirsiz bırakılmıştır. Yani, eşit olan kenarın, diğer üçgendeki hangi kenara karşılık geldiği veya açılarla ilişkisi (arada mı, karşısında mı) net olarak belirtilmemiştir.
- Örnekle açıklayalım:
- Birinci üçgenimiz $\triangle ABC$ olsun. Açıları $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 70^\circ$ olsun. Bu durumda $\angle C = 180^\circ - (30^\circ + 70^\circ) = 80^\circ$ olur. $BC$ kenarının uzunluğu $a = 5$ birim olsun.
- İkinci üçgenimiz $\triangle A'B'C'$ olsun. Açıları $\angle A' = 30^\circ$, $\angle B' = 70^\circ$ olsun. Bu durumda $\angle C' = 80^\circ$ olur. İki açısı $\triangle ABC$ ile aynıdır.
- Şimdi "bir kenarın eş olması" koşulunu uygulayalım. $\triangle ABC$'deki $BC$ kenarı ($a=5$) ile $\triangle A'B'C'$'deki $A'C'$ kenarı ($b'$) eşit olsun, yani $b' = 5$ birim olsun.
- Şimdi bu iki üçgenin eş olup olmadığını kontrol edelim:
- $\triangle ABC$'de sinüs teoremini uygulayalım: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$\frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 70^\circ} = \frac{c}{\sin 80^\circ}$.
Buradan $\frac{5}{0.5} = 10$ olduğundan, $b = 10 \cdot \sin 70^\circ \approx 9.39$ ve $c = 10 \cdot \sin 80^\circ \approx 9.85$ bulunur.
- $\triangle A'B'C'$'de sinüs teoremini uygulayalım: $\frac{a'}{\sin A'} = \frac{b'}{\sin B'} = \frac{c'}{\sin C'}$.
$\frac{a'}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\sin 70^\circ} = \frac{c'}{\sin 80^\circ}$.
Buradan $\frac{5}{\sin 70^\circ} \approx \frac{5}{0.939} \approx 5.32$ olduğundan, $a' = 5.32 \cdot \sin 30^\circ \approx 2.66$ ve $c' = 5.32 \cdot \sin 80^\circ \approx 5.24$ bulunur.
- Gördüğümüz gibi, $\triangle ABC$ ve $\triangle A'B'C'$ üçgenlerinin ikişer açısı eşit ($\angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$) ve birer kenarı eşit ($BC = A'C' = 5$) olmasına rağmen, diğer kenar uzunlukları farklıdır ($AB \neq A'B'$, $AC \neq B'C'$). Bu da üçgenlerin eş olmadığını gösterir.
- Bu nedenle, "iki açı ve bir kenarın eş olması" ifadesi, kenarın karşılıklı olarak aynı konumda (örneğin, her iki üçgende de aynı açının karşısında veya aynı iki açı arasında) olduğu belirtilmediği sürece, üçgenlerin eşliği için yeterli değildir.
Diğer seçenekler (A, B, C) üçgenlerin eşliği için gerekli olan kenar ve açıların karşılıklı olarak aynı konumda olduğunu (örneğin, "oluşturduğu açı" veya "arasındaki kenar" gibi ifadelerle) açıkça belirtirken, D seçeneği bu netliği sağlamaz.
Cevap D seçeneğidir.
