Asal çarpanları 2 ve 7 olan 100 den küçük sayılar nedir? Test 2

Asal çarpanları 2 ve 7 olan 100'den küçük bir sayının 14 ile bölümünden kalan 2'dir. Bu sayının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, belirli özelliklere sahip bir sayıyı bulmamız ve ardından bu sayının 4 ile bölümünden kalanı hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu sayıyı bulalım.

• Adım 1: Sayının genel yapısını belirleyelim.

  Soruda verilen bilgiye göre, aradığımız sayı $100$'den küçüktür ve $14$ ile bölümünden kalan $2$'dir. Bu, sayıyı $N$ olarak adlandırırsak, $N = 14k + 2$ şeklinde yazılabilir, burada $k$ bir tam sayıdır.

  Ayrıca, $N < 100$ koşulunu kullanarak $k$ için olası değerleri bulalım:

  $14k + 2 < 100$

  $14k < 98$

  $k < \frac{98}{14}$

  $k < 7$

  Bu durumda $k$ değerleri $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ olabilir.

• Adım 2: "Asal çarpanları 2 ve 7 olan" ifadesini yorumlayalım.

  Soruda "asal çarpanları 2 ve 7 olan" ifadesi kritik bir noktadır. Eğer sayının kendisi ($N$) asal çarpan olarak sadece 2 ve 7'ye sahip olsaydı, $N$ sayısı $2^a \cdot 7^b$ şeklinde olurdu (burada $a \ge 1, b \ge 1$). Böyle bir sayı her zaman $14$'ün bir katı olurdu ve $14$ ile bölümünden kalan $0$ olurdu. Ancak soruda kalan $2$ olarak verilmiş. Bu bir çelişki yaratır.

  Bu tür durumlarda, "asal çarpanları 2 ve 7 olan" ifadesi genellikle sayının $14$ ile tam bölünen kısmına, yani $N-2$ sayısına atıfta bulunur. Yani, $N-2$ sayısının asal çarpanları sadece 2 ve 7 olmalıdır. Bu durumda $N-2 = 2^a \cdot 7^b$ şeklinde yazılabilir.

• Adım 3: $N-2$ için olası değerleri bulalım.

  $N-2$ sayısı $2^a \cdot 7^b$ şeklinde olmalı ve $N < 100$ olduğundan $N-2 < 98$ olmalıdır. Şimdi bu koşulları sağlayan $N-2$ değerlerini listeleyelim:

  • Eğer $a=1, b=1$ ise, $N-2 = 2^1 \cdot 7^1 = 14$.

    Bu durumda $N = 14 + 2 = 16$.

    Kontrol edelim: $16 < 100$ (doğru), $16$'nın $14$ ile bölümünden kalan $2$ (doğru), $16-2=14$ ve $14$'ün asal çarpanları $2$ ve $7$ (doğru). Yani $N=16$ bir adaydır.

  • Eğer $a=2, b=1$ ise, $N-2 = 2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28$.

    Bu durumda $N = 28 + 2 = 30$.

    Kontrol edelim: $30 < 100$ (doğru), $30$'un $14$ ile bölümünden kalan $2$ (doğru, $30 = 2 \cdot 14 + 2$), $30-2=28$ ve $28$'in ($2^2 \cdot 7$) asal çarpanları $2$ ve $7$ (doğru). Yani $N=30$ bir adaydır.

  • Eğer $a=3, b=1$ ise, $N-2 = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$.

    Bu durumda $N = 56 + 2 = 58$.

    Kontrol edelim: $58 < 100$ (doğru), $58$'in $14$ ile bölümünden kalan $2$ (doğru, $58 = 4 \cdot 14 + 2$), $58-2=56$ ve $56$'nın ($2^3 \cdot 7$) asal çarpanları $2$ ve $7$ (doğru). Yani $N=58$ bir adaydır.

  • Eğer $a=4, b=1$ ise, $N-2 = 2^4 \cdot 7^1 = 16 \cdot 7 = 112$.

    Bu değer $98$'den büyük olduğu için $N < 100$ koşulunu sağlamaz ($N=114$ olurdu). Bu nedenle bu durum geçerli değildir.

  • Eğer $a=1, b=2$ ise, $N-2 = 2^1 \cdot 7^2 = 2 \cdot 49 = 98$.

    Bu durumda $N = 98 + 2 = 100$. Ancak sayı $100$'den küçük olmalıydı ($N < 100$). Bu nedenle bu durum da geçerli değildir.

  Buna göre, sorudaki tüm koşulları sağlayan olası sayılar $16, 30$ ve $58$'dir.

• Adım 4: Bu sayıların 4 ile bölümünden kalanı bulalım.

  Şimdi bulduğumuz aday sayıların her birinin $4$ ile bölümünden kalanı hesaplayalım:

  • $N=16$ için: $16 \div 4 = 4$, kalan $0$.
  • $N=30$ için: $30 \div 4 = 7$, kalan $2$.
  • $N=58$ için: $58 \div 4 = 14$, kalan $2$.

  Gördüğümüz gibi, $30$ ve $58$ sayıları $4$ ile bölündüğünde $2$ kalanını verir. Seçeneklerde $2$ olduğu için, bu sayıların $4$ ile bölümünden kalan $2$'dir.

Cevap C seçeneğidir.