Merhaba sevgili öğrenciler! Üslü sayılarla ilgili bu güzel soruyu adım adım, dikkatlice çözelim. Üslü sayılarda toplama ve bölme işlemlerini içeren bu tür soruları çözmek için bazı temel kuralları hatırlamamız gerekiyor. Hazırsanız başlayalım!
- Öncelikle sorumuzdaki ifadeye bakalım: $ \frac{3^{2024} + 3^{2023}}{3^{2022}} $. Bu ifadede pay kısmında bir toplama işlemi, payda kısmında ise tek bir üslü sayı var.
- Pay kısmındaki toplama işlemini basitleştirmek için ortak çarpan parantezine almayı düşünebiliriz. Payımız $3^{2024} + 3^{2023}$ şeklindedir. Burada en küçük üs $2023$'tür. Yani $3^{2023}$ ortak çarpan olarak alınabilir.
- $3^{2024}$ sayısını $3^1 \cdot 3^{2023}$ veya sadece $3 \cdot 3^{2023}$ şeklinde yazabiliriz. Çünkü üsler toplanır: $1 + 2023 = 2024$.
- Şimdi pay kısmını tekrar yazalım: $3^{2024} + 3^{2023} = (3 \cdot 3^{2023}) + (1 \cdot 3^{2023})$.
- Ortak çarpan olan $3^{2023}$ parantezine alırsak: $3^{2023}(3 + 1)$ elde ederiz.
- Parantez içindeki işlemi yaparsak: $3^{2023}(4)$ olur. Yani payımız $4 \cdot 3^{2023}$ şekline dönüştü.
- Şimdi tüm ifadeyi yeniden yazalım: $ \frac{4 \cdot 3^{2023}}{3^{2022}} $.
- Bu ifadede $3^{2023}$ ve $3^{2022}$ terimlerini sadeleştirebiliriz. Üslü sayılarda bölme kuralını hatırlayalım: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.
- Bu kuralı $ \frac{3^{2023}}{3^{2022}} $ kısmına uygulayalım: $3^{2023 - 2022} = 3^1 = 3$.
- Son olarak, sadeleştirmeden kalan terimleri bir araya getirelim. İfademiz $4 \cdot 3$ haline geldi.
- $4 \cdot 3 = 12$.
- Böylece işlemin sonucunu $12$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
