Kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm olan bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Çevrel çemberin merkezi üçgenin iç bölgesindedir
B) Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır
C) Çevrel çemberin merkezi dar açılı üçgenlerde olduğu gibi kenarortayların kesim noktasıdır
D) Çevrel çemberin merkezi üçgenin dış bölgesindedir
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için öncelikle verilen üçgenin türünü belirlememiz ve ardından dik üçgenlerin çevrel çemberi ile ilgili temel bilgileri hatırlamamız gerekiyor.
- Adım 1: Üçgenin Türünü Belirleme
- Verilen kenar uzunlukları $7$ cm, $24$ cm ve $25$ cm'dir. Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir ($a^2 + b^2 = c^2$).
- En uzun kenar $25$ cm olduğu için bu kenarın hipotenüs olma ihtimali vardır. Diğer iki kenarın karelerini toplayalım:
- $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
- Şimdi en uzun kenarın karesini alalım:
- $25^2 = 625$
- Gördüğümüz gibi, $7^2 + 24^2 = 25^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu durumda, kenar uzunlukları $7$ cm, $24$ cm ve $25$ cm olan bu üçgen bir dik üçgendir. Hipotenüsün uzunluğu $25$ cm'dir.
- Adım 2: Dik Üçgenin Çevrel Çemberinin Özelliğini Hatırlama
- Bir üçgenin çevrel çemberi, üçgenin tüm köşelerinden geçen çemberdir. Çevrel çemberin merkezi, üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır.
- Önemli bir kural: Bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi, her zaman hipotenüsün orta noktasıdır. Ayrıca, çevrel çemberin yarıçapı hipotenüsün yarısına eşittir.
- Adım 3: Seçenekleri Değerlendirme
- Yukarıdaki bilgiyi kullanarak seçenekleri inceleyelim:
- A) Çevrel çemberin merkezi üçgenin iç bölgesindedir: Bu ifade, dar açılı üçgenler için doğrudur. Dik üçgenler için merkez, üçgenin bir kenarı (hipotenüs) üzerinde yer alır.
- B) Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır: Bu ifade, dik üçgenler için geçerli olan doğru kuraldır. Bizim üçgenimiz de bir dik üçgen olduğu için bu seçenek doğrudur.
- C) Çevrel çemberin merkezi dar açılı üçgenlerde olduğu gibi kenarortayların kesim noktasıdır: Kenarortayların kesim noktası, üçgenin ağırlık merkezidir. Çevrel çemberin merkezi değildir. Bu ifade yanlıştır.
- D) Çevrel çemberin merkezi üçgenin dış bölgesindedir: Bu ifade, geniş açılı üçgenler için doğrudur. Dik üçgenler için merkez, hipotenüs üzerindedir.
Bu adımları takip ettiğimizde, kenar uzunlukları $7$ cm, $24$ cm ve $25$ cm olan dik üçgenin çevrel çemberinin merkezinin hipotenüsün orta noktası olduğunu buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
