Hangi ifade bir polinom belirtmez?
A) \( 3x^2 - 5x + 1 \)
B) \( \sqrt{2}x^3 + x - 7 \)
C) \( 4x^{-1} + 2x + 3 \)
D) \( \frac{1}{2}x^4 - x^2 + 5 \)
Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için, polinomun temel tanımını bilmemiz gerekir. Bir polinom, değişkenlerin sadece toplama, çıkarma, çarpma işlemleri ve değişkenin üssünün **negatif olmayan tam sayı** olduğu bir cebirsel ifadedir.
- Polinomun Temel Kuralları:
- Değişkenin (örneğin $x$) üssü (kuvveti) her zaman $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi negatif olmayan bir tam sayı olmalıdır.
- Değişken kök içinde ($ \sqrt{x} $) veya paydada ($ \frac{1}{x} $) bulunmamalıdır. Bu durumlar, değişkenin üssünün kesirli veya negatif olmasına yol açar.
- Katsayılar (değişkenin önündeki sayılar) herhangi bir gerçek sayı olabilir (tam sayı, kesirli sayı, köklü sayı vb.).
- Şimdi seçenekleri bu kurallara göre inceleyelim:
- A) $ 3x^2 - 5x + 1 $
- Bu ifadede $x$'in üsleri $2$, $1$ ($-5x = -5x^1$) ve $0$ ($1 = 1x^0$) şeklindedir.
- Tüm üsler ($2, 1, 0$) negatif olmayan tam sayılardır.
- Bu ifade bir polinomdur.
- B) $ \sqrt{2}x^3 + x - 7 $
- Bu ifadede $x$'in üsleri $3$, $1$ ($x = x^1$) ve $0$ ($-7 = -7x^0$) şeklindedir.
- Tüm üsler ($3, 1, 0$) negatif olmayan tam sayılardır.
- Katsayı $ \sqrt{2} $ bir gerçek sayıdır ve polinom tanımına aykırı değildir.
- Bu ifade bir polinomdur.
- C) $ 4x^{-1} + 2x + 3 $
- Bu ifadede $4x^{-1}$ terimi bulunmaktadır. Burada $x$'in üssü $ -1 $ dir.
- $ -1 $ negatif bir tam sayıdır. Polinom tanımına göre değişkenin üssü negatif olamaz.
- Bu ifade bir polinom değildir. ($4x^{-1}$ terimi aynı zamanda $ \frac{4}{x} $ olarak da yazılabilir, bu da değişkenin paydada olduğu anlamına gelir.)
- D) $ \frac{1}{2}x^4 - x^2 + 5 $
- Bu ifadede $x$'in üsleri $4$, $2$ ve $0$ ($5 = 5x^0$) şeklindedir.
- Tüm üsler ($4, 2, 0$) negatif olmayan tam sayılardır.
- Katsayı $ \frac{1}{2} $ bir gerçek sayıdır ve polinom tanımına aykırı değildir.
- Bu ifade bir polinomdur.
Yukarıdaki incelemelere göre, $ 4x^{-1} + 2x + 3 $ ifadesindeki $x^{-1}$ terimi nedeniyle bu ifade bir polinom belirtmez.
Cevap C seçeneğidir.
