10. Sınıf Harizmi ve Tamkareye Tamamlama Yöntemi Test 1

Bir öğrenci \( 3x^2 - 12x + 6 = 0 \) denklemini tam kareye tamamlama yöntemiyle çözmek istiyor. İlk adım olarak denklemi \( x^2 - 4x + 2 = 0 \) şekline getiriyor. Bu öğrencinin bir sonraki adımda yapması gereken işlem nedir?

A) Her iki tarafa 4 eklemek
B) Her iki tarafa 2 eklemek
C) Denklemi \( x^2 - 4x = -2 \) şeklinde yazmak
D) Diskriminantı hesaplamak

Merhaba sevgili öğrenciler!

Tam kareye tamamlama yöntemi, ikinci dereceden denklemleri çözmek için güçlü bir yöntemdir. Bu yöntemin temel amacı, denklemin bir tarafını bir ifadenin karesi (yani bir tam kare) haline getirmektir. Öğrencinin yaptığı ilk adımı ve sonraki adımı adım adım inceleyelim.

• Başlangıç Denklemi ve Öğrencinin İlk Adımı:

  Öğrenci, $ 3x^2 - 12x + 6 = 0 $ denklemini çözmek istiyor. Tam kareye tamamlama yönteminde ilk adım, $x^2$ teriminin katsayısını 1 yapmaktır. Bunun için denklemin her iki tarafını $3$'e bölüyoruz:

  $ \frac{3x^2}{3} - \frac{12x}{3} + \frac{6}{3} = \frac{0}{3} $

  $ x^2 - 4x + 2 = 0 $

  Öğrenci bu adımı başarıyla tamamlamış ve denklemi doğru bir şekilde $ x^2 - 4x + 2 = 0 $ şekline getirmiştir.

• Tam Kareye Tamamlama Yönteminin Bir Sonraki Adımı:

  Denklemi $ x^2 - 4x + 2 = 0 $ şekline getirdikten sonra, tam kare oluşturmak için sabit terimi (yani $x$ içermeyen terimi) denklemin sağ tarafına atmamız gerekir. Bu, sol tarafta sadece $x^2$ ve $x$ terimlerinin kalmasını sağlar, böylece bu kısmı bir tam kare ifadeye dönüştürmeye odaklanabiliriz.

  Denklemimiz $ x^2 - 4x + 2 = 0 $ idi.

  Sabit terim olan $ +2 $'yi denklemin sağ tarafına geçirmek için her iki taraftan $ 2 $ çıkarırız:

  $ x^2 - 4x + 2 - 2 = 0 - 2 $

  $ x^2 - 4x = -2 $

  Bu işlem, tam kareye tamamlama yönteminin bir sonraki mantıklı ve gerekli adımıdır.

• Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
  • A) Her iki tarafa 4 eklemek: Bu adım, $x$ teriminin katsayısının yarısının karesini ekleme adımıdır, ancak bu, sabit terimi sağa attıktan sonra yapılır. Henüz bu aşamada değiliz.
  • B) Her iki tarafa 2 eklemek: Bu, denklemi $ x^2 - 4x + 4 = 2 $ yapar ki bu da doğru bir adım değildir.
  • C) Denklemi $ x^2 - 4x = -2 $ şeklinde yazmak: Bu, yukarıda açıkladığımız gibi, sabit terimi denklemin sağ tarafına taşıma adımıdır ve tam kareye tamamlama yönteminde bir sonraki doğru adımdır.
  • D) Diskriminantı hesaplamak: Diskriminant hesaplamak ($ \Delta = b^2 - 4ac $), ikinci dereceden denklemleri çözmek için kullanılan başka bir yöntemdir (formül yöntemi). Tam kareye tamamlama yönteminin bir adımı değildir.

Bu nedenle, öğrencinin bir sonraki adımda yapması gereken işlem, sabit terimi denklemin sağ tarafına taşımaktır.

Cevap C seçeneğidir.