Yatay asimptot nedir Test 2

f(x) = (ax² + bx + c)/(dx² + ex + f) fonksiyonunun yatay asimptotunun y = 2 olması için aşağıdakilerden hangisi doğru olmalıdır?

A) a = 2d
B) a = d
C) a = 2
D) d = 2

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir rasyonel fonksiyonun yatay asimptotunu bulma kuralını hatırlamamız ve verilen bilgiyle ilişkilendirmemiz gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Rasyonel Fonksiyonların Yatay Asimptot Kuralını Hatırlayalım:

  Bir rasyonel fonksiyon $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ şeklinde verildiğinde, yatay asimptotunu bulmak için pay (P(x)) ve payda (Q(x)) polinomlarının derecelerine bakarız:

  • Eğer payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yatay asimptot $y = 0$'dır.
  • Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse, yatay asimptot, paydaki en yüksek dereceli terimin katsayısının paydadaki en yüksek dereceli terimin katsayısına oranıdır. Yani $y = \frac{\text{payın baş katsayısı}}{\text{paydanın baş katsayısı}}$.
  • Eğer payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, yatay asimptot yoktur (eğik veya düşey asimptot olabilir, ancak yatay asimptot yoktur).
• 2. Verilen Fonksiyonu İnceleyelim:

  Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f}$ şeklindedir.

  • Paydaki polinom ($ax^2 + bx + c$) ikinci dereceden bir polinomdur ve baş katsayısı $a$'dır.
  • Paydadaki polinom ($dx^2 + ex + f$) de ikinci dereceden bir polinomdur ve baş katsayısı $d$'dir.
• 3. Yatay Asimptot Kuralını Uygulayalım:

  Gördüğümüz gibi, payın derecesi (2) ile paydanın derecesi (2) birbirine eşittir. Bu durumda, yatay asimptot kuralımızın ikinci maddesini kullanırız:

  Yatay asimptot $y = \frac{\text{payın baş katsayısı}}{\text{paydanın baş katsayısı}}$ olacaktır.

  Yani, $y = \frac{a}{d}$.

• 4. Verilen Bilgiyi Kullanalım:

  Soruda fonksiyonun yatay asimptotunun $y = 2$ olduğu belirtilmiştir.

  Bu durumda, bulduğumuz ifadeyi verilen bilgiye eşitlemeliyiz:

  $\frac{a}{d} = 2$

• 5. $a$ ve $d$ Arasındaki İlişkiyi Bulalım:

  Eşitliği düzenlersek, $d$'yi karşıya çarpım olarak atabiliriz:

  $a = 2d$

• 6. Seçenekleri Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz $a = 2d$ ilişkisi, seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.

  • A) $a = 2d$
  • B) $a = d$
  • C) $a = 2$
  • D) $d = 2$

Cevap A seçeneğidir.