Bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-\infty, -3) \cup (2, \infty) \) olarak veriliyor. Bu eşitsizlik aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \( x^2 + x - 6 > 0 \)Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesi verilmiş ve bu eşitsizliğin ne olabileceği soruluyor. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.
Verilen çözüm kümesi $ (-\infty, -3) \cup (2, \infty) $ şeklindedir. Bu, eşitsizliğin $x < -3$ veya $x > 2$ olduğunda sağlandığı anlamına gelir. İkinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesi genellikle kökler arasındaki veya köklerin dışındaki bölgelerden oluşur. Bu durumda, çözüm kümesi köklerin "dışında" olduğu için, eşitsizliği sıfır yapan değerler (yani kökler) $x_1 = -3$ ve $x_2 = 2$'dir.
Kökleri $x_1 = -3$ ve $x_2 = 2$ olan bir ikinci dereceden ifadeyi $(x - x_1)(x - x_2)$ şeklinde yazabiliriz. Baş katsayısı $a$ olan genel form $a(x - x_1)(x - x_2)$ şeklindedir.
Bu durumda, ifadeyi $a(x - (-3))(x - 2)$ olarak yazabiliriz.
$a(x + 3)(x - 2)$
Bu ifadeyi açarsak:
$a(x^2 - 2x + 3x - 6)$
$a(x^2 + x - 6)$
Şimdi bu ifadenin işaretini belirlememiz gerekiyor.
Çözüm kümesi $ (-\infty, -3) \cup (2, \infty) $ yani köklerin dışındaki bölge. İkinci dereceden bir ifadenin köklerin dışında pozitif olması için baş katsayısının ($a$) pozitif olması ve ifadenin $> 0$ olması gerekir. Ya da köklerin dışında negatif olması için baş katsayısının ($a$) negatif olması ve ifadenin $< 0$ olması gerekir.
Seçeneklere baktığımızda, çoğu seçenekte baş katsayı $1$ veya $-1$ olarak verilmiş. Önce $a=1$ durumunu inceleyelim.
Eğer $a=1$ ise, ifademiz $x^2 + x - 6$ olur. Bu ifadenin kökleri $-3$ ve $2$'dir. Bir parabolün kolları yukarı doğru olduğunda (baş katsayı pozitif olduğunda), köklerin dışında pozitif değerler alır.
Yani, $x^2 + x - 6 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $ (-\infty, -3) \cup (2, \infty) $ olacaktır.
Şimdi seçenekleri kontrol edelim.
Bu eşitsizliğin kökleri $x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) = 0 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 2$'dir. Baş katsayı $1$ (pozitif) olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu durumda, ifade köklerin dışında pozitif değerler alır. Yani, $x < -3$ veya $x > 2$ olduğunda eşitsizlik sağlanır. Bu da tam olarak verilen çözüm kümesi $ (-\infty, -3) \cup (2, \infty) $'dir. Bu seçenek doğru olabilir.
Bu eşitsizliğin kökleri $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 3$'tür. Baş katsayı pozitif olduğu için, çözüm kümesi kökler arasında, yani $ (-2, 3) $ olur. Verilen çözüm kümesiyle uyuşmuyor.
Bu eşitsizliğin kökleri $x_1 = -3, x_2 = 2$'dir. Baş katsayı pozitif olduğu için, ifade kökler arasında negatif değerler alır. Yani, çözüm kümesi $ (-3, 2) $ olur. Verilen çözüm kümesiyle uyuşmuyor.
Bu eşitsizliği daha anlaşılır hale getirmek için her iki tarafı $-1$ ile çarpalım ve eşitsizlik yönünü değiştirelim: $ x^2 + x - 6 < 0 $. Bu eşitsizliğin kökleri $x_1 = -3, x_2 = 2$'dir. Baş katsayı pozitif olduğu için, çözüm kümesi kökler arasında, yani $ (-3, 2) $ olur. Verilen çözüm kümesiyle uyuşmuyor.
Yukarıdaki analizler sonucunda, A seçeneğindeki eşitsizliğin çözüm kümesinin verilen çözüm kümesiyle aynı olduğunu görmekteyiz.
Cevap A seçeneğidir.
