Soru:
Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliği çözünüz: \( -2x^2 + 3x + 2 \ge 0 \)
Çözüm:
💡 Bu eşitsizlikte başkatsayı negatiftir. İlk adım olarak eşitsizliği pozitif başkatsayılı hale getirmek işimizi kolaylaştırır.
- ➡️ 1. Adım: Her iki tarafı -1 ile çarpalım (Eşitsizlik yönü değişir!).
\( -2x^2 + 3x + 2 \ge 0 \) ifadesinin her tarafını -1 ile çarparsak: \( 2x^2 - 3x - 2 \le 0 \) olur.
- ➡️ 2. Adım: Yeni denklemi sıfıra eşitleyip kökleri bulalım.
\( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \). Diskriminant: \( \Delta = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \).
Kökler: \( x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{3 \pm 5}{4} \). Yani \( x_1 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2} \), \( x_2 = \frac{3+5}{4} = 2 \).
- ➡️ 3. Adım: İşaret tablosu oluşturalım.
Başkatsayı (a=2) pozitif. Parabol yukarı doğru açılır. Kökler: \( -\frac{1}{2} \) ve 2.
\( x < -\frac{1}{2} \) için: \( f(x) > 0 \)
\( -\frac{1}{2} < x < 2 \) için: \( f(x) < 0 \)
\( x > 2 \) için: \( f(x) > 0 \)
- ➡️ 4. Adım: Eşitsizliğin yönüne bakalım.
Eşitsizliğimiz \( 2x^2 - 3x - 2 \le 0 \). Yani fonksiyonun negatif veya sıfır olduğu aralıkları istiyoruz.
✅ Sonuç: Fonksiyon \( [-\frac{1}{2}, 2] \) aralığında negatif veya sıfırdır. Çözüm kümesi: \( \{ x \mid -\frac{1}{2} \le x \le 2 \} \) veya aralık gösterimiyle \( [-\frac{1}{2}, 2] \).
