Soru:
\(\frac{x^2 - 4}{x - 1} \le 0\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu bir rasyonel eşitsizliktir. Pay ve paydanın ayrı ayrı köklerini bulup, tüm kritik noktalarda (payın sıfır olduğu ve paydanın tanımsız yaptığı noktalar) işaret tablosu yapacağız.
- ➡️ 1. Adım: Payı sıfır yapan değerleri bulalım: \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x = -2\) ve \(x = 2\).
- ➡️ 2. Adım: Paydayı sıfır yapan, yani ifadeyi tanımsız yapan değeri bulalım: \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\). Bu değer çözüm kümesine dahil edilemez.
- ➡️ 3. Adım: İşaret tablosu için sayı doğrusunu bu kritik noktalarla (\(-\infty, -2, 1, 2, \infty\)) bölgelere ayıralım. Her bölgeden bir test noktası seçip ifadenin işaretine bakalım.
\(x = -3\) için: \(\frac{(9-4)}{-4} = \frac{5}{-4} < 0\) (Negatif)
\(x = 0\) için: \(\frac{(0-4)}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0\) (Pozitif)
\(x = 1.5\) için: \(\frac{(2.25-4)}{0.5} = \frac{-1.75}{0.5} < 0\) (Negatif)
\(x = 3\) için: \(\frac{(9-4)}{2} = \frac{5}{2} > 0\) (Pozitif)
- ➡️ 4. Adım: Eşitsizlik "≤ 0" olduğu için, ifadenin negatif veya sıfır olduğu yerleri alırız. Pay sıfır olduğunda (\(x = -2\) ve \(x = 2\)) kesrin değeri 0'dır, bu yüzden bu noktalar dahildir. Paydanın sıfır olduğu \(x=1\) noktası ise dahil değildir.
✅ Sonuç: Çözüm kümesi \( (-\infty, -2] \cup (1, 2] \) aralığıdır.
