Soru:
\(-2x^2 + 3x + 2 \ge 0\) eşitsizliğini sağlayan \(x\) tam sayılarının toplamını bulunuz.
Çözüm:
💡 Başkatsayısı negatif olan bir eşitsizlik. İlk iş olarak, işareti daha kolay inceleyebilmek için tüm terimleri -1 ile çarpabilir ve eşitsizlik yönünü değiştirebiliriz. Ancak dikkatli olmalıyız!
- ➡️ 1. Adım (Alternatif Yol): Denklemin köklerini bulalım: \(-2x^2 + 3x + 2 = 0\). Diskriminant: \(\Delta = 3^2 - 4(-2)(2) = 9 + 16 = 25\). Kökler: \(x = \frac{-3 \pm 5}{2(-2)} = \frac{-3 \pm 5}{-4}\). Buradan \(x_1 = \frac{-8}{-4} = 2\) ve \(x_2 = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\).
- ➡️ 2. Adım: Başkatsayı (-2) negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Bu durumda, kökler arasında fonksiyon pozitif, köklerin dışında ise negatif değerler alır.
- ➡️ 3. Adım: Eşitsizlik "≥ 0" olduğu için, fonksiyonun pozitif veya sıfır olduğu aralıkları ve noktaları seçeriz. Yani \(-\frac{1}{2} \le x \le 2\).
- ➡️ 4. Adım: Bu aralıktaki tam sayılar: 0, 1, 2. (x = -0.5'ten büyük veya eşit olduğu için 0 dahil, 2 de dahil). Toplamları: 0 + 1 + 2 = 3.
✅ Sonuç: İstenen tam sayıların toplamı 3'tür.
