Soru:
Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliği çözünüz: \( x^2 - 5x + 6 < 0 \)
Çözüm:
💡 Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir. Çözüm için önce denklemin köklerini bulup, işaret tablosu yapacağız.
- ➡️ 1. Adım: Denklemi sıfıra eşitleyip kökleri bulalım.
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denklemini çözelim. Diskriminant: \( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \).
Kökler: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \). Yani \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \).
- ➡️ 2. Adım: İşaret tablosu oluşturalım.
Kökler reel ve farklı olduğu için, parabol x eksenini 2 ve 3 noktalarında keser. Başkatsayı (a=1) pozitif olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Bu durumda:
\( x < 2 \) için: \( f(x) > 0 \)
\( 2 < x < 3 \) için: \( f(x) < 0 \)
\( x > 3 \) için: \( f(x) > 0 \)
- ➡️ 3. Adım: Eşitsizliğin yönüne bakalım.
Eşitsizlik \( f(x) < 0 \) şeklinde. Yani fonksiyonun negatif olduğu aralığı arıyoruz.
✅ Sonuç: Fonksiyon \( (2, 3) \) aralığında negatiftir. Çözüm kümesi: \( \{ x \mid 2 < x < 3 \} \) veya aralık gösterimiyle \( (2, 3) \).
