Soru:
\( \frac{x^2 - 9}{x - 1} \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu bir rasyonel eşitsizliktir. Pay ve paydanın ayrı ayrı köklerini bulup, tüm kritik noktalarda işaret incelemesi yapacağız. Paydayı sıfır yapan değer çözüm kümesine dahil edilemez!
- ➡️ 1. Adım: Payı sıfır yapan değerleri bulalım: \( x^2 - 9 = 0 \) → \( (x-3)(x+3) = 0 \) → \( x = -3 \) ve \( x = 3 \).
- ➡️ 2. Adım: Paydayı sıfır yapan değeri bulalım: \( x - 1 = 0 \) → \( x = 1 \). Bu değer, tanımsız yaptığı için çözüm kümesine dahil edilemez.
- ➡️ 3. Adım: Kritik noktalarımız: \( -3, 1, 3 \). Sayı doğrusunda bu noktalara göre bölgeleri belirleyip işaret incelemesi yapalım.
Test noktaları ve sonuçları:
\( x = -4 \) için: \( \frac{(+)}{(-)} = (-) \) Negatif
\( x = 0 \) için: \( \frac{(-)}{(-)} = (+) \) Pozitif
\( x = 2 \) için: \( \frac{(-)}{(+)} = (-) \) Negatif
\( x = 4 \) için: \( \frac{(+)}{(+)} = (+) \) Pozitif
- ➡️ 4. Adım: Eşitsizlik "küçük eşittir 0" (\(\le 0\)). Yani negatif değerler ve payın sıfır olduğu noktalar çözüme dahildir. \(x=1\) paydayı sıfır yaptığından dahil değildir. Buna göre çözüm aralıkları: \( (-\infty, -3] \) ve \( (1, 3] \).
✅ Sonuç: Çözüm kümesi \( (-\infty, -3] \cup (1, 3] \)'dir.
