Birleşim işlemi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) A ∪ ∅ = A
B) A ∪ A = A
C) A ∪ B = B ∪ A
D) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C
Merhaba sevgili öğrenciler, küme işlemlerinden birleşim işlemi ile ilgili verilen ifadeleri adım adım inceleyelim ve hangisinin yanlış olduğunu bulalım.
A) $A \cup \emptyset = A$
Bu ifade, bir A kümesi ile boş kümeyi ($\emptyset$) birleştirdiğimizde, sonuç olarak yine A kümesini elde edeceğimizi söyler. Boş küme hiçbir eleman içermediği için, A kümesine ekleyecek yeni bir eleman yoktur. Bu nedenle, bu ifade doğrudur. Birleşim işleminin etkisiz elemanı boş kümedir.
B) $A \cup A = A$
Bu ifade, bir A kümesini kendisiyle birleştirdiğimizde, sonucun yine A kümesi olacağını belirtir. Kümelerde her eleman bir kez yazılır. Dolayısıyla, A kümesinin elemanlarını tekrar kendisiyle birleştirmek, yeni bir eleman eklemeyeceği için sonuç yine A kümesi olacaktır. Bu ifade doğrudur. Bu, birleşim işleminin idempotentlik özelliğidir.
C) $A \cup B = B \cup A$
Bu ifade, birleşim işleminin değişme özelliği (komütatiflik) olduğunu gösterir. A kümesi ile B kümesinin birleşimi, B kümesi ile A kümesinin birleşimine eşittir. Elemanları hangi sırayla bir araya getirdiğimizin bir önemi yoktur. Bu ifade doğrudur.
D) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C$
Bu ifade, birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği gibi görünse de, aslında doğru değildir. Kümelerde dağılma özelliği şu şekildedir: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$. Verilen ifade ise farklıdır.
Bu ifadenin yanlış olduğunu bir örnekle gösterelim:
İfadenin sol tarafını hesaplayalım: Önce $B \cap C$ işlemini yapalım. $B \cap C = \{3\}$. Şimdi $A \cup (B \cap C)$ işlemini yapalım: $A \cup (B \cap C) = \{1, 2\} \cup \{3\} = \{1, 2, 3\}$.
İfadenin sağ tarafını hesaplayalım: Önce $A \cup B$ işlemini yapalım. $A \cup B = \{1, 2, 3\}$. Şimdi $(A \cup B) \cap C$ işlemini yapalım: $(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3\} \cap \{3, 4\} = \{3\}$.
Görüldüğü gibi, sol tarafın sonucu $\{1, 2, 3\}$ iken, sağ tarafın sonucu $\{3\}$'tür. Bu iki küme birbirine eşit değildir ($\{1, 2, 3\} \neq \{3\}$). Bu nedenle, bu ifade yanlıştır.
