Kepler 3. kanun (Periyotlar kanunu - R³/T²) Test 2

Güneş sistemindeki bir gezegenin yörünge periyodu 8 yıl ve yarı büyük eksen uzunluğu 4 astronomik birimdir. Buna göre aynı sistemde yörünge periyodu 27 yıl olan bir gezegenin yarı büyük eksen uzunluğu kaç astronomik birimdir?

A) 6
B) 9
C) 12
D) 18

Hadi gel, bu kozmik soruyu adım adım çözelim ve gezegenlerin dansını anlayalım! 🚀

• 🔑 Öncelikle, Kepler'in 3. Yasası'nı hatırlayalım. Bu yasa, bir gezegenin yörünge periyodunun karesinin ($T^2$), yörüngesinin yarı büyük eksen uzunluğunun küpüyle ($a^3$) orantılı olduğunu söyler: $T^2 \propto a^3$.
• 🧮 Şimdi, verilen gezegenler için bu orantıyı bir eşitliğe dönüştürelim. Orantı sabitini yok etmek için oranlama yöntemini kullanacağız: $\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}$. Burada $T_1$ ilk gezegenin periyodu, $a_1$ ilk gezegenin yarı büyük ekseni, $T_2$ ikinci gezegenin periyodu ve $a_2$ ikinci gezegenin yarı büyük eksenidir.
• 📝 Verilen değerleri yazalım: $T_1 = 8$ yıl, $a_1 = 4$ AB (astronomik birim), $T_2 = 27$ yıl ve $a_2 = ?$ AB.
• 🧪 Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: $\frac{8^2}{4^3} = \frac{27^2}{a_2^3}$. Yani, $\frac{64}{64} = \frac{729}{a_2^3}$. Bu da $1 = \frac{729}{a_2^3}$ anlamına gelir.
• 📐 Buradan $a_2^3 = 729$ olur. Şimdi $a_2$'yi bulmak için 729'un küp kökünü almamız gerekiyor. Yani, $a_2 = \sqrt[3]{729}$.
• 💡 729'un küp kökü 9'dur. Çünkü $9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$. Dolayısıyla, $a_2 = 9$ AB.
• ✅ Doğru Seçenek B'dir.