Bir gezegenin yörünge periyodunun karesi ile yarı büyük eksen uzunluğunun küpü arasındaki oran grafiği çizildiğinde elde edilen doğrunun eğimi neyi ifade eder?
A) Gezegenin kütlesini
B) Yıldızın kütlesini
C) Evrensel çekim sabitini
D) Yörüngenin dışmerkezliğini
Gezegenlerin hareketlerini anlamak için bu soruyu keyifle çözelim!
🍎 Öncelikle Kepler'in Üçüncü Yasası'nı hatırlayalım: Bir gezegenin yörünge periyodunun karesi ($T^2$), yörüngesinin yarı büyük eksen uzunluğunun küpü ($a^3$) ile doğru orantılıdır. Bu ilişki matematiksel olarak şöyle ifade edilir: $T^2 \propto a^3$.
📐 Şimdi, bu orantıyı bir eşitliğe dönüştürelim. Eşitliği sağlamak için bir orantı sabiti ($k$) kullanırız: $T^2 = k \cdot a^3$. Buradaki $k$ sabiti, evrensel çekim sabiti ($G$) ve yıldızın kütlesi ($M$) ile ilişkilidir.
🧮 Kepler'in Üçüncü Yasası'ndaki orantı sabiti ($k$) aslında şu şekilde ifade edilir: $k = \frac{4\pi^2}{GM}$. Burada $G$ evrensel çekim sabiti ve $M$ yıldızın (gezegenin etrafında döndüğü merkezi cisim) kütlesidir.
📈 Soruda verilen grafikte, y ekseni $T^2$ ve x ekseni $a^3$ olarak düşünülürse, doğrunun eğimi ($m$) $\frac{T^2}{a^3}$'e eşit olacaktır. Yani $m = \frac{4\pi^2}{GM}$'dir.
💡 Bu durumda, doğrunun eğimi ($\frac{4\pi^2}{GM}$) yıldızın kütlesi ($M$) ile ters orantılıdır. Eğim, aynı zamanda evrensel çekim sabiti ($G$) ile de ilişkilidir. Ancak, seçeneklerde evrensel çekim sabiti tek başına verilmemiş, yıldızın kütlesiyle birlikte bir ilişki içinde sunulmuştur.
⚠️ Şimdi dikkatlice seçenekleri değerlendirelim. Gezegenin kütlesi, yörüngenin dış merkezliliği ve evrensel çekim sabiti doğrudan doğrunun eğimi ile ifade edilmez. Ancak, yıldızın kütlesi, eğimin içerdiği bir bileşendir.
