Liste yöntemi (Kümeler) Test 2

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde 1 veya 2 elemanlarından en az biri bulunur?

A) 48
B) 56
C) 60
D) 64

Bu soruda, verilen bir kümenin alt kümeleri arasından belirli bir koşulu sağlayanları bulmamız isteniyor. Koşul, alt kümede 1 veya 2 elemanlarından en az birinin bulunmasıdır. Bu tür "en az biri" sorularında genellikle tüm durumdan istenmeyen durumları (yani "hiçbiri" durumunu) çıkarmak daha kolay bir yöntemdir.

• Adım 1: Kümenin Toplam Alt Küme Sayısını Bulma

• A kümesi $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ elemanlarından oluşmaktadır. Bu kümenin eleman sayısı $n = 6$'dır.

  Bir kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur.

  Bu durumda, A kümesinin toplam alt küme sayısı $2^6 = 64$'tür.

• Adım 2: İstenmeyen Durumu Belirleme ve Alt Küme Sayısını Bulma

• Bizden istenen, alt kümelerde 1 veya 2 elemanlarından en az birinin bulunmasıdır. Bunun tersi (istenmeyen durum), alt kümelerde ne 1'in ne de 2'nin bulunmamasıdır. Yani, alt küme 1 ve 2 elemanlarını içermeyecektir.

  Eğer alt küme 1 ve 2 elemanlarını içermeyecekse, bu alt kümenin elemanları A kümesinin geri kalan elemanlarından oluşmalıdır. Geri kalan elemanlar kümesi $A' = \{3, 4, 5, 6\}$'dır.

  Bu yeni kümenin eleman sayısı $m = 4$'tür.

  Bu $A'$ kümesinin alt küme sayısı, yani 1 ve 2'yi içermeyen alt küme sayısı $2^m = 2^4 = 16$'dır.

• Adım 3: İstenen Durumun Alt Küme Sayısını Bulma

• İstenen durum (1 veya 2'den en az birini içeren alt kümeler), toplam alt küme sayısından istenmeyen durumun (ne 1'i ne de 2'yi içeren alt kümeler) çıkarılmasıyla bulunur.

  İstenen alt küme sayısı = (Toplam alt küme sayısı) - (1 ve 2'yi içermeyen alt küme sayısı)

  İstenen alt küme sayısı = $64 - 16 = 48$'dir.

Cevap A seçeneğidir.