Reel sayılarda sıralama aksiyomları Test 2

Reel sayılarda sıralama aksiyomlarına göre, x, y ve z reel sayıları için x < y ve y < z ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) x = z
B) x > z
C) x < z
D) x = y

Merhaba arkadaşlar! Bu soruda, reel sayılardaki sıralama aksiyomlarından biri olan "geçişme özelliği"ni kullanarak verilen eşitsizlikleri yorumlayacağız. Adım adım ilerleyelim ve doğru cevabı bulalım.

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
  • Bize iki tane eşitsizlik verilmiş:
  • Birincisi: $x < y$ (Bu, $x$ sayısının $y$ sayısından küçük olduğu anlamına gelir.)
  • İkincisi: $y < z$ (Bu da $y$ sayısının $z$ sayısından küçük olduğu anlamına gelir.)
  • Bu iki eşitsizlik arasında ortak bir nokta var: $y$ sayısı. $x$, $y$'den küçük; $y$ ise $z$'den küçük.
• 2. Eşitsizlikleri Birleştirelim (Geçişme Özelliği):
  • Reel sayılarda sıralamanın en temel aksiyomlarından biri "geçişme özelliği" (transitive property) olarak bilinir.
  • Bu özellik der ki: Eğer bir sayı başka bir sayıdan küçükse ve o ikinci sayı da üçüncü bir sayıdan küçükse, o zaman ilk sayı kesinlikle üçüncü sayıdan küçüktür.
  • Matematiksel olarak ifade edersek: Eğer $a < b$ ve $b < c$ ise, o zaman kesinlikle $a < c$ olur.
• 3. Kendi Sorumuza Uygulayalım:
  • Bizim durumumuzda:
  • $a$ yerine $x$ var.
  • $b$ yerine $y$ var.
  • $c$ yerine $z$ var.
  • Yani, $x < y$ ve $y < z$ olduğu için, geçişme özelliğine göre $x$ sayısı kesinlikle $z$ sayısından küçük olmalıdır.
  • Bu da $x < z$ şeklinde yazılır.
• 4. Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) $x = z$: Bu, $x$ ve $z$'nin eşit olduğu anlamına gelir. Verilen bilgilere göre bu doğru olamaz, çünkü $x$ bir sayıdan ($y$) küçük, o sayı da başka bir sayıdan ($z$) küçük.
  • B) $x > z$: Bu, $x$'in $z$'den büyük olduğu anlamına gelir. Bu da doğru olamaz, çünkü $x$ en küçük sayı konumundadır.
  • C) $x < z$: Bu, $x$'in $z$'den küçük olduğu anlamına gelir. Bu, geçişme özelliğinden doğrudan çıkan ve kesinlikle doğru olan ifadedir.
  • D) $x = y$: Bu, $x$ ve $y$'nin eşit olduğu anlamına gelir. Ancak bize $x < y$ verildi, yani $x$ kesinlikle $y$'den küçüktür, eşit değildir.

Bu durumda, kesinlikle doğru olan ifade $x < z$'dir.

Cevap C seçeneğidir.