Reel sayılarda sıralama aksiyomları Test 2

x ve y reel sayıları için x > 0 ve y < 0 veriliyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) x + y > 0
B) xy > 0
C) x/y > 0
D) y - x < 0

Bu soruda, $x$ ve $y$ reel sayıları için $x > 0$ (yani $x$ pozitif bir sayı) ve $y < 0$ (yani $y$ negatif bir sayı) olduğu bilgisi verilmiştir. Buna göre verilen ifadelerin hangisinin kesinlikle doğru olduğunu bulmalıyız.

• A) $x + y > 0$

  Bu ifade her zaman doğru değildir. Bir pozitif sayı ile bir negatif sayının toplamı, sayıların mutlak değerlerine bağlı olarak pozitif, negatif veya sıfır olabilir.

  • Örnek 1: $x = 5$ ve $y = -2$ olsun. Bu durumda $x + y = 5 + (-2) = 3$. Burada $3 > 0$ olur.
  • Örnek 2: $x = 2$ ve $y = -5$ olsun. Bu durumda $x + y = 2 + (-5) = -3$. Burada $-3 < 0$ olur.

  Görüldüğü gibi, $x + y$ her zaman pozitif değildir. Bu yüzden A seçeneği kesinlikle doğru değildir.

• B) $xy > 0$

  Bu ifade her zaman doğru değildir. Bir pozitif sayı ($x > 0$) ile bir negatif sayının ($y < 0$) çarpımı her zaman negatif bir sayıdır.

  • Örnek: $x = 3$ ve $y = -4$ olsun. Bu durumda $xy = 3 \times (-4) = -12$. Burada $-12 < 0$ olur.

  Dolayısıyla $xy$ her zaman negatiftir, yani $xy < 0$ olur. Bu yüzden $xy > 0$ ifadesi kesinlikle yanlıştır.

• C) $x/y > 0$

  Bu ifade her zaman doğru değildir. Bir pozitif sayının ($x > 0$) bir negatif sayıya ($y < 0$) bölümü her zaman negatif bir sayıdır.

  • Örnek: $x = 6$ ve $y = -2$ olsun. Bu durumda $x/y = 6 / (-2) = -3$. Burada $-3 < 0$ olur.

  Dolayısıyla $x/y$ her zaman negatiftir, yani $x/y < 0$ olur. Bu yüzden $x/y > 0$ ifadesi kesinlikle yanlıştır.

• D) $y - x < 0$

  Bu ifade kesinlikle doğrudur. İnceleyelim:

  • Bize $y < 0$ olduğu verilmiş, yani $y$ negatif bir sayıdır.
  • Bize $x > 0$ olduğu verilmiş, yani $x$ pozitif bir sayıdır.
  • Eğer $x$ pozitif bir sayı ise, $-x$ negatif bir sayı olacaktır. (Örneğin, $x=5$ ise $-x=-5$ olur.)
  • Şimdi $y - x$ ifadesini $y + (-x)$ şeklinde düşünebiliriz.
  • Bu durumda, negatif bir sayı ($y$) ile başka bir negatif sayıyı ($-x$) topluyoruz.
  • İki negatif sayının toplamı her zaman negatif bir sayıdır.
  • Örnek: $y = -3$ ve $x = 4$ olsun. Bu durumda $y - x = -3 - 4 = -7$. Burada $-7 < 0$ olur.

  Bu nedenle, $y - x$ ifadesi her zaman negatif olacaktır, yani $y - x < 0$ ifadesi kesinlikle doğrudur.

Cevap D seçeneğidir.