İkinci dereceden bir denklemin kökleri verildiğinde, bu denklemi bulmanın iki temel yolu vardır. Her iki yöntemi de adım adım inceleyelim.
- Yöntem 1: Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı Formüllerini Kullanma
- Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde yazılır. Eğer denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, bu kökler ile katsayılar arasında aşağıdaki ilişkiler vardır:
- Kökler Toplamı: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
- Kökler Çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
- Ayrıca, seçeneklerdeki denklemlerin $x^2$ teriminin katsayısı 1 olduğu için, $a=1$ kabul edebiliriz. Bu durumda denklem $x^2 - (x_1+x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$ şeklinde yazılabilir.
- Bize verilen kökler $x_1 = 3$ ve $x_2 = -2$'dir. Şimdi bu değerleri kullanarak kökler toplamını ve çarpımını bulalım:
- Kökler Toplamı: $x_1 + x_2 = 3 + (-2) = 3 - 2 = 1$
- Kökler Çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-2) = -6$
- Şimdi bu değerleri $x^2 - (x_1+x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$ denkleminde yerine yazalım:
- $x^2 - (1)x + (-6) = 0$
- $x^2 - x - 6 = 0$
- Bu denklem, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
- Yöntem 2: Çarpanlara Ayırma Yöntemini Kullanma
- Eğer bir ikinci dereceden denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, bu denklem $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ şeklinde çarpanlara ayrılmış olarak yazılabilir.
- Bize verilen kökler $x_1 = 3$ ve $x_2 = -2$'dir. Bu değerleri formülde yerine yazalım:
- $(x - 3)(x - (-2)) = 0$
- $(x - 3)(x + 2) = 0$
- Şimdi bu ifadeyi dağıtarak denklemi standart forma getirelim:
- $x \cdot x + x \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2 = 0$
- $x^2 + 2x - 3x - 6 = 0$
- Benzer terimleri birleştirelim:
- $x^2 - x - 6 = 0$
- Bu denklem de seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık.
Cevap A seçeneğidir.
