f(x) = |x-3| + |x+2| fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) x = -2 ve x = 3 noktalarında köşe oluşturur
B) (-∞, -2] aralığında azalan, [3, ∞) aralığında artandır
C) Minimum değeri 5'tir
D) Her x gerçek sayısı için türevlenebilirdir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, mutlak değer fonksiyonlarının özelliklerini ve grafiklerini inceleyeceğiz. Verilen fonksiyon $f(x) = |x-3| + |x+2|$ şeklindedir. Mutlak değer fonksiyonları, içindeki ifadeyi pozitif yapmak için tanımlanır ve bu tür fonksiyonların grafikleri genellikle "V" veya "W" şeklindedir. Bu şekillerde "köşe" noktaları oluşur ve bu noktalarda fonksiyon türevlenemez.
Fonksiyonu daha iyi anlamak için, mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktaları belirleyelim. Bu noktalar $x-3=0 \Rightarrow x=3$ ve $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ dir.
Şimdi, bu kritik noktalara göre $x$ eksenini üç aralığa ayıralım ve $f(x)$ fonksiyonunu parçalı olarak tanımlayalım:
- 1. Durum: $x < -2$
Bu aralıkta, hem $x-3$ hem de $x+2$ ifadeleri negatiftir. Bu yüzden mutlak değer dışına çıkarken işaret değiştirirler:
$f(x) = -(x-3) + -(x+2) = -x+3 -x-2 = -2x+1$
- 2. Durum: $-2 \le x < 3$
Bu aralıkta, $x-3$ ifadesi negatif, $x+2$ ifadesi pozitiftir:
$f(x) = -(x-3) + (x+2) = -x+3 +x+2 = 5$
- 3. Durum: $x \ge 3$
Bu aralıkta, hem $x-3$ hem de $x+2$ ifadeleri pozitiftir:
$f(x) = (x-3) + (x+2) = x-3+x+2 = 2x-1$
Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun parçalı tanımı şöyledir:
$$f(x) = \begin{cases} -2x+1 & \text{if } x < -2 \\ 5 & \text{if } -2 \le x < 3 \\ 2x-1 & \text{if } x \ge 3 \end{cases}$$
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $x = -2$ ve $x = 3$ noktalarında köşe oluşturur
- Bir fonksiyonun "köşe" oluşturması, o noktada sol ve sağ türevlerinin farklı olması anlamına gelir.
- $x=-2$ noktasında:
- $x < -2$ için $f'(x) = -2$ (sol türev).
- $-2 < x < 3$ için $f'(x) = 0$ (sağ türev).
- Sol türev $(-2)$ ile sağ türev $(0)$ farklı olduğu için $x=-2$ noktasında bir köşe oluşur.
- $x=3$ noktasında:
- $-2 < x < 3$ için $f'(x) = 0$ (sol türev).
- $x > 3$ için $f'(x) = 2$ (sağ türev).
- Sol türev $(0)$ ile sağ türev $(2)$ farklı olduğu için $x=3$ noktasında bir köşe oluşur.
- Bu ifade DOĞRUDUR.
- B) $(-\infty, -2]$ aralığında azalan, $[3, \infty)$ aralığında artandır
- $(-\infty, -2)$ aralığında $f(x) = -2x+1$ ve türevi $f'(x) = -2$ dir. Türev negatif olduğu için bu aralıkta fonksiyon azalandır.
- $(3, \infty)$ aralığında $f(x) = 2x-1$ ve türevi $f'(x) = 2$ dir. Türev pozitif olduğu için bu aralıkta fonksiyon artandır.
- Bu ifade DOĞRUDUR.
- C) Minimum değeri 5'tir
- Fonksiyonun grafiği, $x < -2$ için azalan bir doğru ($y=-2x+1$), $-2 \le x < 3$ için sabit bir doğru ($y=5$) ve $x \ge 3$ için artan bir doğrudur ($y=2x-1$).
- Fonksiyonun en düşük değeri, sabit olduğu aralıkta aldığı $5$ değeridir. Çünkü bu aralığın solunda fonksiyon $x=-2$ ye doğru azalırken $5$ değerine ulaşır, sağında ise $x=3$ ten sonra artmaya başlar.
- Bu ifade DOĞRUDUR.
- D) Her x gerçek sayısı için türevlenebilirdir
- Yukarıda A seçeneğinde de belirttiğimiz gibi, $x=-2$ ve $x=3$ noktalarında fonksiyon köşe oluşturur. Köşe noktalarında bir fonksiyonun türevi mevcut değildir, yani fonksiyon bu noktalarda türevlenemez.
- Dolayısıyla, fonksiyon her $x$ gerçek sayısı için türevlenebilir değildir.
- Bu ifade YANLIŞTIR.
Soruda yanlış olan ifade sorulduğu için, doğru cevap D seçeneğidir.
Cevap D seçeneğidir.
