Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği (-∞, 2] aralığında azalan, [2, ∞) aralığında artandır. Minimum değeri -1'dir ve x = 2 noktasında alınmaktadır. Bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) f(x) = |x-2| - 1
B) f(x) = |x+2| - 1
C) f(x) = |x| + 1
D) f(x) = |x-2| + 1
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir mutlak değer fonksiyonunun grafiğinin özelliklerini kullanarak fonksiyonun denklemini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
-
1. Mutlak Değer Fonksiyonunun Genel Yapısını Hatırlayalım:
Bir mutlak değer fonksiyonunun genel formu $f(x) = a|x-h| + k$ şeklindedir. Burada:
- $(h, k)$ noktası fonksiyonun tepe noktasıdır (köşe noktası).
- Eğer $a > 0$ ise, grafik yukarı doğru açılan bir "V" şeklindedir ve tepe noktası bir minimum noktasıdır.
- Eğer $a < 0$ ise, grafik aşağı doğru açılan ters bir "V" şeklindedir ve tepe noktası bir maksimum noktasıdır.
-
2. Verilen Bilgileri Analiz Edelim:
Soruda bize şu bilgiler verilmiş:
- Fonksiyon $(-\infty, 2]$ aralığında azalan, $[2, \infty)$ aralığında artandır. Bu bilgi, fonksiyonun $x=2$ noktasında yön değiştirdiğini, yani tepe noktasının $x$-koordinatının $h=2$ olduğunu gösterir. Ayrıca, önce azalıp sonra arttığı için, bu nokta bir minimum noktasıdır ve grafik yukarı doğru açılan bir "V" şeklindedir (yani $a > 0$).
- Minimum değeri $-1$'dir ve bu değer $x=2$ noktasında alınmaktadır. Bu bilgi, tepe noktasının $y$-koordinatının $k=-1$ olduğunu gösterir.
-
3. Tepe Noktasını Belirleyelim:
Yukarıdaki analizlerden yola çıkarak, fonksiyonun tepe noktası $(h, k) = (2, -1)$ olarak bulunur.
-
4. Fonksiyon Denklemini Oluşturalım:
Genel form $f(x) = a|x-h| + k$ idi. Tepe noktasını $(2, -1)$ olarak bulduk, yani $h=2$ ve $k=-1$. Minimum değer olduğu için $a$ pozitif olmalıdır. En basit mutlak değer fonksiyonu için $a=1$ kabul edebiliriz.
Bu değerleri yerine yazarsak:
$f(x) = 1 \cdot |x-2| + (-1)$
$f(x) = |x-2| - 1$
-
5. Seçenekleri Kontrol Edelim:
Şimdi bulduğumuz fonksiyonu seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $f(x) = |x-2| - 1$: Bu fonksiyonun tepe noktası $(2, -1)$'dir. $x=2$ noktasında minimum değer olan $-1$'i alır. $x < 2$ için azalan, $x > 2$ için artandır. Tüm koşulları sağlar.
- B) $f(x) = |x+2| - 1$: Bu fonksiyonun tepe noktası $(-2, -1)$'dir. $x=2$ koşulunu sağlamaz.
- C) $f(x) = |x| + 1$: Bu fonksiyonun tepe noktası $(0, 1)$'dir. $x=2$ ve minimum değer $-1$ koşullarını sağlamaz.
- D) $f(x) = |x-2| + 1$: Bu fonksiyonun tepe noktası $(2, 1)$'dir. Minimum değeri $1$'dir, $-1$ değildir.
Bu karşılaştırmalar sonucunda, A seçeneğindeki fonksiyonun verilen tüm özellikleri sağladığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
