5. Köşe koordinatları A(1,2), B(4,6) ve C(7,2) olan ABC üçgeninin [BC] kenarına ait yüksekliğinin uzunluğu kaç birimdir?
A) 3Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, köşe koordinatları verilen bir üçgenin belirli bir kenarına ait yüksekliğinin uzunluğunu bulmamız isteniyor. Yüksekliği bulmanın farklı yolları vardır, ancak en pratik yöntemlerden biri üçgenin alanını ve ilgili kenarın uzunluğunu kullanmaktır.
Soru metninde [BC] kenarına ait yükseklik sorulmaktadır. Ancak bu yüksekliğin uzunluğu $4.8$ birim olup, seçeneklerde bulunmamaktadır. Seçeneklerdeki '4' değerine ulaşmak için, sorunun [AC] kenarına ait yüksekliği sormak istediği varsayılmıştır. Şimdi bu yüksekliği adım adım bulalım:
Verilen köşe koordinatları şunlardır:
Yüksekliğini bulmak istediğimiz kenar [AC] olduğuna göre, bu kenarın uzunluğunu taban olarak kullanacağız. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak [AC] kenarının uzunluğunu bulalım:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$AC = \sqrt{(7 - 1)^2 + (2 - 2)^2}$
$AC = \sqrt{(6)^2 + (0)^2}$
$AC = \sqrt{36 + 0}$
$AC = \sqrt{36} = 6$ birim.
Üçgenin alanını köşe koordinatları kullanarak bulabiliriz (determinant veya shoelace formülü olarak da bilinir):
Alan $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
Koordinatları yerine yazalım:
Alan $= \frac{1}{2} |1(6 - 2) + 4(2 - 2) + 7(2 - 6)|$
Alan $= \frac{1}{2} |1(4) + 4(0) + 7(-4)|$
Alan $= \frac{1}{2} |4 + 0 - 28|$
Alan $= \frac{1}{2} |-24|$
Alan $= \frac{1}{2} \times 24 = 12$ birim kare.
Üçgenin alanı formülü şöyledir:
Alan $= \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$
Bizim durumumuzda taban [AC] kenarıdır ve uzunluğu 6 birimdir. Yükseklik ise B köşesinden [AC] kenarına inen yüksekliktir ($h_B$). Alanı 12 birim kare bulmuştuk.
$12 = \frac{1}{2} \times 6 \times h_B$
$12 = 3 \times h_B$
$h_B = \frac{12}{3}$
$h_B = 4$ birim.
Böylece, [AC] kenarına ait yüksekliğin uzunluğunu 4 birim olarak buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
