Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, dik koordinat sisteminde belirli koşulları sağlayan bir çemberin denklemini bulmamız isteniyor. Soruyu adım adım analiz ederek çözelim:
- Adım 1: Çemberin Merkezini Belirleme
- Soruda "$x = 3$, $y = -2$ ve koordinat eksenlerine teğet olan çemberin denklemi" ifadesi geçmektedir. Buradaki "$x = 3$" ve "$y = -2$" doğruları, genellikle çemberin merkezinin koordinatlarını belirlemek için kullanılır. Bu iki doğrunun kesişim noktası, çemberin merkezini verir.
- $x = 3$ ve $y = -2$ doğrularının kesişim noktası $(3, -2)$'dir.
- O halde, çemberin merkezi $M(a, b) = (3, -2)$'dir.
- Adım 2: Çember Denkleminin Genel Formunu Yazma
- Merkezi $(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin genel denklemi $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ şeklindedir.
- Merkezi $(3, -2)$ olarak bulduğumuza göre, çemberin denklemi $(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = r^2$ olur.
- Bu ifadeyi düzenlersek: $(x-3)^2 + (y+2)^2 = r^2$.
- Şimdi $r$ (yarıçap) değerini bulmamız gerekiyor.
- Adım 3: Yarıçapı Belirleme (Koordinat Eksenlerine Teğet Olma Durumu)
- Soruda çemberin "koordinat eksenlerine teğet olduğu" belirtilmiştir. Çemberin merkezi $(3, -2)$ noktasıdır. Bu nokta, x koordinatı pozitif ($3$) ve y koordinatı negatif ($-2$) olduğu için 4. bölgededir.
- Bir çemberin koordinat eksenlerine teğet olması iki farklı durumu ifade edebilir:
- x eksenine teğet olma durumu: Eğer bir çember x eksenine teğet ise, yarıçapı merkezin y koordinatının mutlak değerine eşittir. Yani $r = |b|$.
- y eksenine teğet olma durumu: Eğer bir çember y eksenine teğet ise, yarıçapı merkezin x koordinatının mutlak değerine eşittir. Yani $r = |a|$.
- Merkezimiz $M(3, -2)$ olduğuna göre:
- Eğer çember x eksenine teğet olursa, yarıçap $r = |-2| = 2$ birim olur.
- Eğer çember y eksenine teğet olursa, yarıçap $r = |3| = 3$ birim olur.
- Merkezin koordinatları farklı olduğu için ($|3| \neq |-2|$), çember aynı anda hem x eksenine hem de y eksenine teğet olamaz. Bu durumda, soruda "hangisi olabilir?" dendiği için seçenekleri inceleyerek doğru yarıçapı belirlemeliyiz.
- Adım 4: Seçenekleri İnceleme ve Doğru Cevabı Bulma
- Bulduğumuz merkez $(3, -2)$'ye uyan seçenekler A ve B'dir.
- A) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 4$:
- Bu denkleme göre merkez $(3, -2)$'dir.
- $r^2 = 4$ olduğu için yarıçap $r = \sqrt{4} = 2$'dir.
- Bu yarıçap değeri ($r=2$), merkezin y koordinatının mutlak değerine eşittir ($|-2|=2$). Bu durum, çemberin x eksenine teğet olduğunu gösterir.
- B) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 9$:
- Bu denkleme göre merkez $(3, -2)$'dir.
- $r^2 = 9$ olduğu için yarıçap $r = \sqrt{9} = 3$'tür.
- Bu yarıçap değeri ($r=3$), merkezin x koordinatının mutlak değerine eşittir ($|3|=3$). Bu durum, çemberin y eksenine teğet olduğunu gösterir.
- Her iki seçenek de soruda belirtilen "koordinat eksenlerine teğet olma" şartını (farklı eksenlere teğet olarak) sağlamaktadır ve merkezleri $x=3, y=-2$ doğrularının kesişim noktasıdır. Ancak sorunun doğru cevabı A olarak verildiği için, çemberin x eksenine teğet olduğu durumu kabul etmemiz gerekmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
