Bir roket fırlatıldıktan sonra konumu \( s(t) = 5t^2 + 10t \) denklemiyle ifade ediliyor. Roketin t=4 saniyedeki anlık hızını bulmak için hangi matematiksel işlem yapılmalıdır?
A) s(4) değerini hesaplamak
B) s'(t) fonksiyonunda t=4 yazmak
C) s(4) - s(0) farkını almak
D) s(t) fonksiyonunun integralini almak
Bir roketin konumu $s(t) = 5t^2 + 10t$ denklemiyle verildiğinde, roketin belirli bir andaki (anlık) hızını bulmak için türev alma işlemi kullanılır. İşte adım adım açıklaması:
- Konum Fonksiyonu ve Hız İlişkisi: $s(t)$ fonksiyonu, roketin $t$ anındaki konumunu ifade eder. Hız ise konumun zamana göre değişim oranıdır. Yani, bir cismin konumu nasıl değişiyorsa, o değişim hızı bize cismin hızını verir.
- Anlık Hız Kavramı: "Anlık hız", belirli bir zaman noktasındaki hızı ifade eder. Örneğin, $t=4$ saniyedeki anlık hız, tam o $t=4$ anındaki hızdır.
- Türev ve Değişim Oranı: Matematikte, bir fonksiyonun değişim oranını bulmak için türev alma işlemi kullanılır. Konum fonksiyonunun zamana göre türevi, bize hız fonksiyonunu verir. Yani, $v(t) = s'(t)$'dir. Burada $v(t)$ hız fonksiyonunu, $s'(t)$ ise $s(t)$ fonksiyonunun türevini temsil eder.
- İşlem Adımları: Öncelikle, konum fonksiyonu $s(t) = 5t^2 + 10t$'nin türevini alarak hız fonksiyonu $v(t)$'yi buluruz. $s'(t) = \frac{d}{dt}(5t^2 + 10t) = 10t + 10$. Bu, roketin herhangi bir $t$ anındaki anlık hızını veren fonksiyondur. Soruda $t=4$ saniyedeki anlık hız istendiği için, bulduğumuz hız fonksiyonu $v(t) = 10t + 10$ denkleminde $t$ yerine $4$ yazarız. Böylece $v(4) = 10(4) + 10 = 40 + 10 = 50$ m/s sonucunu elde ederiz.
- A) $s(4)$ değerini hesaplamak: Bu seçenek, roketin $t=4$ saniyedeki konumunu verir, hızını değil. Konum ve hız farklı fiziksel büyüklüklerdir.
- B) $s'(t)$ fonksiyonunda $t=4$ yazmak: Bu seçenek, yukarıda açıkladığımız gibi, konum fonksiyonunun türevini alıp (hız fonksiyonunu bulup) ardından $t=4$ değerini yerine koyarak anlık hızı bulma işlemidir. Bu doğru yaklaşımdır.
- C) $s(4) - s(0)$ farkını almak: Bu seçenek, roketin $t=0$ ile $t=4$ saniyeleri arasındaki yer değiştirmesini (toplam konum farkını) verir, anlık hızını değil. Bu ortalama hız veya yer değiştirme ile ilgilidir.
- D) $s(t)$ fonksiyonunun integralini almak: Bu seçenek, hız fonksiyonunu bulmak için değil, genellikle daha farklı fiziksel büyüklükleri bulmak için kullanılır. Örneğin, hız fonksiyonunun integrali konumu verir. Hız fonksiyonunu bulmak için türev alınır.
Bu nedenle, roketin $t=4$ saniyedeki anlık hızını bulmak için yapılması gereken matematiksel işlem, konum fonksiyonunun türevini alıp ($s'(t)$) bu fonksiyonda $t=4$ değerini yerine yazmaktır.
Cevap B seçeneğidir.
