Permütasyon formülü P(n,r) Test 2

Bir şifre 4 farklı rakamdan oluşacaktır. Rakamlar tekrarsız kullanıldığında kaç farklı şifre oluşturulabilir?

A) \( 10^4 \)
B) \( P(10,4) \)
C) \( C(10,4) \)
D) \( 4^{10} \)

Bu soruda, belirli koşullar altında kaç farklı şifre oluşturabileceğimizi bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Kullanılabilecek Rakamları Belirleme

  Öncelikle, şifre oluşturmak için hangi rakamların elimizde olduğunu düşünelim. Rakamlar $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$'dur. Toplamda 10 farklı rakamımız var.

• Adım 2: Şifrenin Özelliklerini Anlama

  Soruda şifrenin 4 farklı rakamdan oluşacağı ve rakamların tekrarsız kullanılacağı belirtiliyor. Bu iki bilgi çok önemlidir:

  "4 farklı rakamdan": Şifremiz 4 haneli olacak.

  "tekrarsız": Bir rakamı bir kez kullandıktan sonra bir daha kullanamayız. Örneğin, "1123" gibi bir şifre oluşturamayız.

  Ayrıca, bir şifrede rakamların sırası önemlidir. Örneğin, "1234" şifresi ile "4321" şifresi birbirinden farklıdır. Bu durum, seçtiğimiz rakamları sıralamamız (dizmemiz) gerektiğini gösterir.

• Adım 3: Doğru Matematiksel Kavramı Seçme

  Elimizde belirli sayıda eleman (10 rakam) var ve biz bunlardan belirli sayıda elemanı (4 rakam) seçeceğiz. Seçtiğimiz elemanların sırası önemli ve elemanları tekrar kullanmıyoruz. Bu tür durumlarda kullanılan matematiksel kavram permütasyon (sıralama)'dur.

  Permütasyon, $n$ farklı eleman arasından $r$ tanesini seçip sıralama işlemidir ve $P(n,r)$ ile gösterilir. Formülü ise $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ şeklindedir.

• Adım 4: Formülü Uygulama

  Bizim durumumuzda:

  Toplam eleman sayısı ($n$) = 10 (çünkü 10 farklı rakam var)

  Seçilecek ve sıralanacak eleman sayısı ($r$) = 4 (çünkü şifre 4 haneli olacak)

  Bu durumda, oluşturulabilecek farklı şifre sayısı $P(10,4)$ olacaktır.

  Hesaplamasını da yapalım (soru seçeneklerde formülü istediği için bu adım zorunlu değil ama anlamak için faydalıdır):

  $P(10,4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

  Yani 5040 farklı şifre oluşturulabilir.

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Şimdi seçeneklere bakalım:

  A) $10^4$: Bu, rakamların tekrarlı kullanılabildiği ve sıranın önemli olduğu durumdur. (Örn: 1111, 1234, 4455 gibi)

  B) $P(10,4)$: Bu, rakamların tekrarsız kullanıldığı ve sıranın önemli olduğu durumdur. Bizim sorumuzla birebir uyuşuyor.

  C) $C(10,4)$: Bu, rakamların tekrarsız seçildiği ancak sıranın önemli olmadığı durumdur (kombinasyon). Örneğin, "1,2,3,4" seçimi ile "4,3,2,1" seçimi aynı kabul edilir. Şifrelerde sıra önemlidir.

  D) $4^{10}$: Bu, 4 farklı elemandan 10 tane seçip sıralama gibi farklı bir durumu ifade eder ve sorumuzla ilgisi yoktur.

Bu durumda, doğru seçenek $P(10,4)$'tür.

Cevap B seçeneğidir.