Permütasyon formülü P(n,r) Test 2

6 kişi, 4 kişilik bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir?

A) \( C(6,4) \)
B) \( P(6,4) \)
C) \( 6^4 \)
D) \( 4^6 \)

Bu problem, belirli bir sıraya oturacak kişilerin düzenlenmesiyle ilgilidir. Bu tür durumlarda, kişilerin hangi sırayla oturduğu önemli olduğu için permütasyon (sıralama) kavramını kullanırız.

• Adım 1: Problemi Anlama ve Anahtar Kavramı Belirleme

  Elimizde 6 kişi var ve bu kişilerden 4'ü, 4 kişilik bir sıraya oturacak. Burada önemli olan, kişilerin hangi koltuğa oturduğu ve bu koltuklardaki sıralamalarıdır. Örneğin, Ayşe'nin birinci koltuğa, Burak'ın ikinci koltuğa oturması ile Burak'ın birinci koltuğa, Ayşe'nin ikinci koltuğa oturması farklı durumlar olarak kabul edilir. Bu durum, seçilen elemanların sıralamasının önemli olduğu permütasyon problemlerinin tipik bir örneğidir.

• Adım 2: Permütasyon ve Kombinasyon Arasındaki Farkı Hatırlama

  Bu tür problemlerde iki temel kavram vardır:

  • Permütasyon ($ P(n,k) $): $n$ farklı eleman arasından $k$ tanesinin seçilip sıralanmasıdır. Sıralama önemlidir. Örneğin, bir yarışta ilk üçe girenlerin sıralaması permütasyondur.
  • Kombinasyon ($ C(n,k) $): $n$ farklı eleman arasından $k$ tanesinin seçilmesidir. Sıralama önemli değildir, sadece hangi elemanların seçildiği önemlidir. Örneğin, bir gruptan 3 kişilik bir komite seçmek kombinasyondur.

  Bizim problemimizde, 4 kişilik sıraya oturan kişilerin sıralaması önemli olduğu için permütasyon kullanmalıyız.

• Adım 3: Permütasyon Formülünü Uygulama

  $n$ farklı eleman arasından $k$ tanesinin sıralanma sayısı $ P(n,k) $ formülü ile bulunur:

  $ P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} $

  Burada:

  • $n$: Toplam kişi sayısı = 6
  • $k$: Oturulacak koltuk sayısı = 4

  Formülü uygulayalım:

  $ P(6,4) = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} $

  Hesaplamayı yapalım:

  $ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 $

  $ 2! = 2 \times 1 = 2 $

  $ P(6,4) = \frac{720}{2} = 360 $

  Yani, 6 kişi 4 kişilik bir sıraya 360 farklı şekilde oturabilir.

• Adım 4: Seçenekleri Değerlendirme

  Verilen seçeneklere baktığımızda:

  • A) $ C(6,4) $: Bu ifade, 6 kişiden 4'ünün seçilmesini (sıralama önemli olmadan) temsil eder. Bizim problemimize uygun değildir.
  • B) $ P(6,4) $: Bu ifade, 6 kişiden 4'ünün seçilip belirli bir sıraya göre düzenlenmesini (sıralama önemli olarak) temsil eder. Bu, bizim problemimizin tam karşılığıdır.
  • C) $ 6^4 $: Bu ifade, 4 farklı yere her birine 6 farklı seçeneğin gelebileceği ve tekrarların mümkün olduğu durumları temsil eder. Örneğin, 4 haneli bir şifrenin her hanesine 6 farklı rakam gelebilirse.
  • D) $ 4^6 $: Bu ifade, 6 farklı öğeyi 4 farklı yere yerleştirirken tekrarların mümkün olduğu durumları temsil eder.

  Doğru ifade $ P(6,4) $ seçeneğidir.

Cevap B seçeneğidir.