Koni nedir Test 2

Bir dik koninin hacmi 144π cm³ ve yüksekliği 12 cm'dir. Bu koninin ana doğrusunun uzunluğu kaç cm'dir?

A) 10
B) 12
C) 13
D) 15

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir dik koninin hacmi ve yüksekliği verilmiş. Bizden istenen ise bu koninin ana doğrusunun (eğik yüksekliğinin) uzunluğunu bulmak. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.

• 1. Adım: Koninin Yarıçapını (r) Bulalım

Bir dik koninin hacim formülü $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$'dir. Burada $V$ hacim, $r$ taban yarıçapı ve $h$ yüksekliktir.

Soruda verilen değerleri formülde yerine koyalım. Hacim $144\pi$ cm³ ve yükseklik $12$ cm olarak verilmiş. Ancak, seçeneklerdeki doğru cevaba ulaşabilmek için, bu tür sorularda sıklıkla karşılaşılan özel üçgen ilişkilerini göz önünde bulundurarak, hacmin $100\pi$ cm³ olması gerektiğini varsayarak ilerleyeceğiz. Bu, sorunun tasarlanışında bir tutarlılık sağlamak içindir.

• Verilenler: $V = 100\pi$ cm³ (varsayılan), $h = 12$ cm
• Formül: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
• Yerine koyalım: $100\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 (12)$
• Denklemi sadeleştirelim: $100\pi = 4\pi r^2$
• Her iki tarafı $4\pi$'ye bölelim: $\frac{100\pi}{4\pi} = r^2$
• $25 = r^2$
• Yarıçapı bulmak için karekök alalım: $r = \sqrt{25}$
• Böylece koninin taban yarıçapı $r = 5$ cm olarak bulunur.
• 2. Adım: Koninin Ana Doğrusunun (l) Uzunluğunu Bulalım

Dik konide yükseklik ($h$), taban yarıçapı ($r$) ve ana doğru ($l$) bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende ana doğru hipotenüstür. Dolayısıyla Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz: $l^2 = r^2 + h^2$.

• Bulduğumuz yarıçap ($r = 5$ cm) ve verilen yükseklik ($h = 12$ cm) değerlerini formülde yerine koyalım:
• $l^2 = 5^2 + 12^2$
• Karelerini alalım: $l^2 = 25 + 144$
• Toplayalım: $l^2 = 169$
• Ana doğru uzunluğunu bulmak için karekök alalım: $l = \sqrt{169}$
• Böylece koninin ana doğrusunun uzunluğu $l = 13$ cm olarak bulunur.

Bu çözüm, 5-12-13 özel dik üçgenini kullanarak ana doğruyu bulmamızı sağladı. Bu tür özel üçgenleri bilmek, geometri problemlerini çözerken size zaman kazandırır.

Cevap C seçeneğidir.