Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, bir bakteri popülasyonunun büyümesini modelleyen bir formül verilmiş ve belirli bir sayıya ulaşması için ne kadar süre gerektiğini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi kolayca çözelim.
- 1. Adım: Formülü Anlayalım ve Bilgileri Yerine Koyalım
- Bakteri popülasyonunun sayısı $P(t) = 1000 \cdot 2^{t/3}$ formülüyle modellenmiştir.
- Burada:
- $P(t)$, $t$ saat sonraki bakteri sayısını gösterir.
- $1000$, başlangıçtaki bakteri sayısıdır (yani $t=0$ anındaki).
- $2$, bakteri sayısının katlanma faktörüdür.
- $t/3$, zamanın bir fonksiyonu olarak üs. Bu ifade, bakteri sayısının her 3 saatte bir ikiye katlandığını gösterir.
- Bizden istenen, bakteri sayısının $16.000$'e ulaşması için kaç saat ($t$) geçmesi gerektiğidir. O halde, $P(t)$ yerine $16.000$ yazarak denklemimizi oluşturalım:
- $16000 = 1000 \cdot 2^{t/3}$
- 2. Adım: Denklemi Basitleştirelim
- Amacımız, $t$ değerini bulmak. Bunun için öncelikle üslü ifadeyi yalnız bırakmalıyız. Denklemin her iki tarafını $1000$'e bölelim:
- $ rac{16000}{1000} = 2^{t/3}$
- $16 = 2^{t/3}$
- 3. Adım: Üslü İfadeyi Çözelim
- Şimdi, $16$ sayısını $2$'nin bir kuvveti olarak yazmamız gerekiyor. $2$'nin hangi kuvveti $16$ eder?
- $2^1 = 2$
- $2^2 = 4$
- $2^3 = 8$
- $2^4 = 16$
- Demek ki, $16$ yerine $2^4$ yazabiliriz. Denklemi yeniden düzenleyelim:
- $2^4 = 2^{t/3}$
- 4. Adım: $t$ Değerini Bulalım
- Üslü denklemlerde, tabanlar eşitse üsler de eşit olmak zorundadır. Bu durumda, $2$ tabanları eşit olduğu için üsleri birbirine eşitleyebiliriz:
- $4 = rac{t}{3}$
- Şimdi $t$'yi bulmak için denklemin her iki tarafını $3$ ile çarpalım:
- $t = 4 \cdot 3$
- $t = 12$
- 5. Adım: Sonucu Kontrol Edelim
- Bulduğumuz $t=12$ değerini orijinal formülde yerine koyarak sonucun doğru olup olmadığını kontrol edebiliriz:
- $P(12) = 1000 \cdot 2^{12/3}$
- $P(12) = 1000 \cdot 2^4$
- $P(12) = 1000 \cdot 16$
- $P(12) = 16000$
- Gördüğümüz gibi, $12$ saat sonra bakteri sayısı $16.000$'e ulaşıyor. Bu da sonucumuzun doğru olduğunu gösterir.
Buna göre, bakteri sayısının $16.000$'e ulaşması için $12$ saat geçmesi gerekir.
Cevap B seçeneğidir.
