6. sınıf matematik bölünebilme kuralları soru çözümü Test 1

Bir çiftçi, tarlasından topladığı elmaları kasalara yerleştirmek istemektedir. Eğer kasalara 3'er 3'er yerleştirirse 2 elma artıyor, eğer 5'er 5'er yerleştirirse yine 2 elma artıyor. Çiftçinin topladığı elma sayısı 100'den fazla ve 150'den az olduğuna göre, elma sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 107
B) 112
C) 125
D) 130

Bu problemde, bir çiftçinin topladığı elmaların sayısını bulmak için verilen bilgileri adım adım değerlendirelim.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Matematiksel İfadeye Dönüştürelim

  Çiftçinin topladığı elma sayısına $E$ diyelim.

  İlk bilgiye göre, elmaları 3'er 3'er kasalara yerleştirince 2 elma artıyor. Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz: $E$ sayısı 3'e bölündüğünde kalan 2'dir. Yani,

  $E \equiv 2 \pmod{3}$

  İkinci bilgiye göre, elmaları 5'er 5'er kasalara yerleştirince yine 2 elma artıyor. Bu da şu anlama gelir:

  $E \equiv 2 \pmod{5}$

  Bu iki ifade bize şunu gösteriyor: Eğer elma sayısından 2 çıkarırsak ($E-2$), bu sayı hem 3'e hem de 5'e tam bölünebilir olmalıdır. Yani $E-2$ sayısı, hem 3'ün hem de 5'in ortak bir katı olmalıdır.

• Adım 2: Ortak Katı Bulalım

  $E-2$ sayısının hem 3'e hem de 5'e tam bölünebilmesi için, 3 ve 5'in en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

  3 ve 5 asal sayılar olduğu için, EKOK'ları bu sayıların çarpımıdır:

  EKOK$(3, 5) = 3 \times 5 = 15$

  Bu durumda, $E-2$ sayısı 15'in bir katı olmalıdır. Yani, $E-2 = 15n$ şeklinde yazılabilir (burada $n$ bir tam sayıdır).

  Elma sayısını $E$ cinsinden ifade edersek:

  $E = 15n + 2$

• Adım 3: Elma Sayısının Aralığını Kullanalım

  Problemde verilen bir diğer önemli bilgi, çiftçinin topladığı elma sayısının 100'den fazla ve 150'den az olduğudur. Bunu matematiksel olarak şöyle yazabiliriz:

  $100 < E < 150$

  Şimdi $E = 15n + 2$ ifadesini bu eşitsizliğin içine yerleştirelim:

  $100 < 15n + 2 < 150$

• Adım 4: $n$ Değerini Bulmak İçin Eşitsizliği Çözelim

  Eşitsizliğin her tarafından 2 çıkaralım:

  $100 - 2 < 15n < 150 - 2$

  $98 < 15n < 148$

  Şimdi eşitsizliğin her tarafını 15'e bölelim:

  $rac{98}{15} < n < rac{148}{15}$

  Bu kesirleri yaklaşık değerlerine çevirelim:

  $6.53... < n < 9.86...$

  $n$ bir tam sayı olduğuna göre, bu aralıktaki tam sayılar 7, 8 ve 9 olabilir.

• Adım 5: Olası Elma Sayılarını Hesaplayalım

  $n$ için bulduğumuz değerleri $E = 15n + 2$ formülünde yerine koyarak olası elma sayılarını bulalım:

  Eğer $n=7$ ise: $E = (15 \times 7) + 2 = 105 + 2 = 107$

  Eğer $n=8$ ise: $E = (15 \times 8) + 2 = 120 + 2 = 122$

  Eğer $n=9$ ise: $E = (15 \times 9) + 2 = 135 + 2 = 137$

  Bu durumda, çiftçinin topladığı elma sayısı 107, 122 veya 137 olabilir.

• Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Şimdi bulduğumuz olası elma sayılarını (107, 122, 137) seçeneklerle karşılaştıralım:

  A) 107

  B) 112

  C) 125

  D) 130

  Seçenekler arasında bizim bulduğumuz 107 sayısı bulunmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.