Önerme nedir (Mantık) Test 2

🎓 Önerme nedir (Mantık) Test 2 - Ders Notu

Bu ders notu, "Önerme nedir (Mantık) Test 2" kapsamında karşılaşabileceğin temel mantık konularını, önermelerin yapısını, özelliklerini ve bileşik önermeleri sade bir dille özetlemektedir.

📌 Önerme Nedir?

Mantıkta "önerme", doğru veya yanlış kesin bir yargı bildiren cümlelere denir. Bir cümlenin önerme olabilmesi için nesnel olması ve herkes tarafından aynı doğruluk değeriyle değerlendirilebilmesi gerekir.

• Bir yargı bildirmelidir.
• Doğru ya da yanlış bir doğruluk değeri alabilmelidir.
• Aynı anda hem doğru hem de yanlış olamaz.

Örnekler:

• "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." (Doğru bir önerme)
• "2 + 2 = 5." (Yanlış bir önerme)
• "Hava soğuktur." (Önerme, doğruluk değeri duruma göre değişir ama bir yargı bildirir)

💡 İpucu: Emir, soru, ünlem, dilek, temenni ve öznel yargı bildiren cümleler (örneğin "Keşke yağmur yağsa!", "Ne kadar güzel bir manzara!", "Oraya git!") önerme değildir, çünkü kesin bir doğruluk değeri taşımazlar.

📌 Doğruluk Değeri

Bir önermenin doğru veya yanlış olma durumuna "doğruluk değeri" denir. Doğru önermeler genellikle "D" veya "1" ile, yanlış önermeler ise "Y" veya "0" ile gösterilir.

• Her önermenin sadece bir doğruluk değeri vardır.
• Bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır; ikisi birden olamaz.

📌 Basit ve Bileşik Önermeler

Önermeler, içerdikleri yargı sayısına göre ikiye ayrılır:

• Basit Önerme: Tek bir yargı bildiren, herhangi bir bağlaç içermeyen önermelerdir.
  • Örnek: "Ay bir gezegendir."
• Bileşik Önerme: İki veya daha fazla basit önermenin mantık bağlaçları ($land$, $lor$, $implies$, $iff$, $underline{lor}$) ile birleştirilmesiyle oluşan önermelerdir.
  • Örnek: "Hava güneşlidir ve sıcaklık 25 derecedir."

📌 Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir önermenin doğruluk değerini değiştiren, yani doğruysa yanlış, yanlışsa doğru yapan önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir. Bir $p$ önermesinin değili $p'$ veya $\neg p$ ile gösterilir.

• Genellikle "değildir", "değil", "doğru değildir ki" gibi ifadelerle yapılır.
• Örnek:
  • $p$: "Bugün hava yağmurludur."
  • $p'$: "Bugün hava yağmurlu değildir."
• Niceleyicilerde Değilleme:
  • "Her" ($orall$) niceleyicisinin değili "Bazı...değildir" ($exists...neg$) olur.
    • Örnek: "Her insan akıllıdır." değili $\rightarrow$ "Bazı insanlar akıllı değildir."
  • "Bazı" ($exists$) niceleyicisinin değili "Her...değildir" ($orall...neg$) olur.
    • Örnek: "Bazı çiçekler kokuludur." değili $\rightarrow$ "Her çiçek kokulu değildir."

📌 Bileşik Önermeler ve Bağlaçları

Bileşik önermeler, basit önermeleri birbirine bağlayan mantık bağlaçları ile kurulur. Her bağlacın kendine özgü bir doğruluk tablosu vardır.

📝 Ve Bağlacı ($land$)

İki önermenin "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermedir ($p land q$).

• $p land q$ önermesi, her iki önerme ($p$ ve $q$) de doğru iken doğrudur.
• Diğer tüm durumlarda yanlıştır. (Tıpkı çarpmaya benzer: $1 times 1 = 1$, diğerleri $0$)

Örnek: "Ali doktordur ve Ayşe öğretmendir." (Ali doktor DEĞİLSE veya Ayşe öğretmen DEĞİLSE, bu önerme yanlıştır.)

📝 Veya Bağlacı ($lor$)

İki önermenin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermedir ($p lor q$).

• $p lor q$ önermesi, en az bir önerme ($p$ veya $q$) doğru iken doğrudur.
• Sadece her iki önerme de yanlış iken yanlıştır. (Tıpkı toplamaya benzer: $0 + 0 = 0$, diğerleri $1$)

Örnek: "Hava yağmurludur veya bugün evde kalacağım." (Hava yağmurluysa veya evde kalırsam, veya hem yağmurlu olup hem evde kalırsam doğru; sadece hava yağmurlu değilse ve evde kalmazsam yanlış.)

📝 Ya da Bağlacı ($underline{lor}$)

İki önermenin "ya da" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermedir ($p underline{lor} q$).

• $p underline{lor} q$ önermesi, önermelerden sadece biri doğru iken doğrudur.
• İki önermenin doğruluk değerleri aynı ise (ikisi de doğru veya ikisi de yanlış) yanlıştır.

Örnek: "Bu akşam çay ya da kahve içeceğim." (Hem çay hem kahve içersen veya ikisini de içmezsen yanlış; sadece birini içersen doğru.)

📝 İse Bağlacı ($implies$)

İki önermenin "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermedir ($p implies q$). Genellikle "Eğer $p$ ise $q$" şeklinde okunur.

• $p implies q$ önermesi, sadece ilk önerme ($p$) doğru ve ikinci önerme ($q$) yanlış iken yanlıştır.
• Diğer tüm durumlarda doğrudur.

⚠️ Dikkat: "İse" bağlacının doğruluk tablosu özellikle önemlidir. "Doğru iken yanlışa gitmez" kuralını unutma ($1 implies 0 = 0$). Diğer tüm durumlar doğrudur ($1 implies 1 = 1$, $0 implies 1 = 1$, $0 implies 0 = 1$).

Örnek: "Eğer kar yağarsa ise yollar kapanır." (Kar yağmazsa ve yollar kapanmazsa da, kar yağmazsa ve yollar kapanırsa da bu önerme doğru kabul edilir. Sadece kar yağar ve yollar kapanmazsa yanlış olur.)

📝 Ancak ve Ancak Bağlacı ($iff$)

İki önermenin "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermedir ($p iff q$). Genellikle "$p$ ancak ve ancak $q$" şeklinde okunur.

• $p iff q$ önermesi, iki önermenin doğruluk değerleri aynı iken (ikisi de doğru veya ikisi de yanlış) doğrudur.
• İki önermenin doğruluk değerleri farklı ise yanlıştır.

Örnek: "Bir sayı çift sayıdır ancak ve ancak 2'ye kalansız bölünür." (Sayı çiftse ve 2'ye bölünüyorsa doğru, sayı tekse ve 2'ye bölünmüyorsa da doğru. Ama sayı çift olup 2'ye bölünmüyorsa veya sayı tek olup 2'ye bölünüyorsa yanlış.)