Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayalım.
- 1. Adım: Soruyu Anlayalım
- Soruda bize bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılmış halinin $2^a \times 5^b$ şeklinde olduğu söyleniyor. Ayrıca bu sayının pozitif tam sayı bölen sayısının 9 olduğu bilgisi verilmiş. Bizden istenen ise $a \times b$ çarpımının kaç olduğudur.
- 2. Adım: Pozitif Tam Sayı Bölen Sayısı Formülünü Hatırlayalım
- Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $N = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \dots \times p_k^{e_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif tam sayı bölen sayısı, üslerin birer fazlasının çarpımı ile bulunur. Yani formül $(e_1+1)(e_2+1)\dots(e_k+1)$ şeklindedir.
- 3. Adım: Formülü Verilen Sayıya Uygulayalım
- Bizim sayımız $2^a \times 5^b$ şeklinde verilmiş. Burada asal çarpanlar 2 ve 5, bu asal çarpanların üsleri ise sırasıyla $a$ ve $b$'dir.
- Bu durumda, sayının pozitif tam sayı bölen sayısı $(a+1)(b+1)$ olacaktır.
- 4. Adım: Denklemi Kuralım ve Çözelim
- Soruda bize pozitif tam sayı bölen sayısının 9 olduğu bilgisi verilmişti. O halde, bulduğumuz ifadeyi 9'a eşitleyebiliriz:
- $(a+1)(b+1) = 9$
- $a$ ve $b$ birer üs olduğundan, bunlar doğal sayılar olmalıdır ($a \ge 0$, $b \ge 0$). Ancak, bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^a \times 5^b$ şeklinde verildiğinde, genellikle 2 ve 5'in o sayının asal çarpanları olduğu kabul edilir. Bu da $a \ge 1$ ve $b \ge 1$ olması gerektiği anlamına gelir. Çünkü eğer $a=0$ olsaydı, 2 asal çarpanı olmazdı; benzer şekilde $b=0$ olsaydı, 5 asal çarpanı olmazdı.
- Bu koşul altında, $a+1 \ge 2$ ve $b+1 \ge 2$ olmalıdır.
- Şimdi 9 sayısının çarpanlarını düşünelim. 9'un çarpan çiftleri şunlardır: $(1, 9)$, $(3, 3)$ ve $(9, 1)$.
- $a+1 \ge 2$ ve $b+1 \ge 2$ koşulunu sağlayan tek çarpan çifti $(3, 3)$'tür.
- Bu durumda:
- $a+1 = 3 \implies a = 3-1 \implies a = 2$
- $b+1 = 3 \implies b = 3-1 \implies b = 2$
- 5. Adım: $a \times b$ Değerini Hesaplayalım
- Bulduğumuz $a=2$ ve $b=2$ değerlerini kullanarak $a \times b$ çarpımını hesaplayalım:
- $a \times b = 2 \times 2 = 4$
Buna göre, $a \times b$ değeri 4'tür.
Cevap B seçeneğidir.
