\( 2(x-3) + 4 = 2x - 2 \) denklemini çözen bir öğrenci aşağıdaki adımları izlemiştir:
1. Adım: \( 2x - 6 + 4 = 2x - 2 \)
2. Adım: \( 2x - 2 = 2x - 2 \)
3. Adım: \( 0 = 0 \)
Bu çözüme göre denklem için hangisi söylenebilir?
A) Denklemin çözümü x=2'dir
B) Denklemin çözümü yoktur
C) Denklemin sonsuz çözümü vardır
D) Öğrenci işlem hatası yapmıştır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür denklemlerle karşılaştığımızda, adım adım ilerlemek ve her adımın ne anlama geldiğini anlamak çok önemlidir. Şimdi, öğrencinin çözümünü birlikte inceleyelim ve bu denklemin bize ne anlattığını keşfedelim.
- 1. Adım: Öğrencinin yaptığı işlem: $2(x-3) + 4 = 2x - 2$ denklemini $2x - 6 + 4 = 2x - 2$ şeklinde yazmış.
- Açıklama: Burada öğrenci, parantez dışındaki $2$ sayısını parantez içindeki her terimle çarparak dağıtma özelliğini doğru bir şekilde kullanmıştır. Yani, $2 \times x = 2x$ ve $2 \times (-3) = -6$ işlemlerini yapmıştır. Bu adım tamamen doğrudur.
- 2. Adım: Öğrencinin yaptığı işlem: $2x - 6 + 4 = 2x - 2$ denklemini $2x - 2 = 2x - 2$ şeklinde yazmış.
- Açıklama: Bu adımda öğrenci, denklemin sol tarafındaki sabit terimleri (sayıları) birleştirmiştir: $-6 + 4 = -2$. Bu işlem de doğru yapılmıştır. Şu an denklemin her iki tarafı da tamamen aynı ifadeye sahiptir.
- 3. Adım: Öğrencinin yaptığı işlem: $2x - 2 = 2x - 2$ denklemini $0 = 0$ şeklinde yazmış.
- Açıklama: Öğrenci, denklemin her iki tarafından $2x$ terimini çıkararak veya her iki tarafa $2$ ekleyerek tüm terimleri bir tarafa toplamaya çalışmıştır. Örneğin, her iki taraftan $2x$ çıkarırsak: $(2x - 2) - 2x = (2x - 2) - 2x \Rightarrow -2 = -2$. Daha sonra her iki tarafa $2$ eklersek: $-2 + 2 = -2 + 2 \Rightarrow 0 = 0$ sonucunu elde ederiz. Bu adım da matematiksel olarak doğrudur.
Şimdi gelelim bu sonucun ne anlama geldiğine:
- Bir denklemi çözerken, eğer tüm değişkenler (burada $x$) birbirini götürür ve geriye $0 = 0$, $5 = 5$ gibi her zaman doğru olan bir eşitlik kalırsa, bu durum denklemin sonsuz çözümü olduğu anlamına gelir. Yani, $x$ yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım, denklem her zaman doğru olacaktır. Bu tür denklemlere "özdeşlik" denir.
- Eğer değişkenler birbirini götürür ve geriye $0 = 5$ veya $3 = 7$ gibi yanlış bir eşitlik kalırsa, bu durum denklemin çözümünün olmadığı anlamına gelir.
- Eğer $x = 2$ veya $x = -5$ gibi belirli bir $x$ değeri bulursak, bu denklemin tek bir çözümü olduğu anlamına gelir.
Öğrencinin adımları tamamen doğru olduğu ve sonuç olarak $0 = 0$ gibi her zaman doğru bir ifadeye ulaşıldığı için, bu denklemin sonsuz çözümü vardır.
Bu durumda doğru seçenek C'dir.
