Bir sepetteki yumurtalar 6'şarlı sayıldığında 4, 8'erli sayıldığında 6 yumurta artıyor. Sepetteki yumurta sayısı iki basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre, bu sayının rakamları toplamı kaçtır?
A) 7Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir sepetteki yumurtaların sayısını bulmamız ve ardından bu sayının rakamları toplamını hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Sepetteki yumurta sayısına $Y$ diyelim.
Yumurtalar 6'şarlı sayıldığında 4 yumurta artıyor. Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz: $Y \equiv 4 \pmod{6}$. Yani $Y$, 6'nın bir katından 4 fazladır. ($Y = 6k + 4$ şeklinde yazılabilir.)
Yumurtalar 8'erli sayıldığında 6 yumurta artıyor. Bu durumu da şöyle ifade edebiliriz: $Y \equiv 6 \pmod{8}$. Yani $Y$, 8'in bir katından 6 fazladır. ($Y = 8m + 6$ şeklinde yazılabilir.)
Dikkat ederseniz, her iki durumda da bölen ile kalan arasındaki fark aynıdır:
$6 - 4 = 2$
$8 - 6 = 2$
Bu durum bize önemli bir ipucu verir: Eğer yumurta sayısına 2 eklersek, hem 6'ya hem de 8'e tam bölünecektir. Yani $Y+2$ sayısı hem 6'nın hem de 8'in bir katıdır.
$Y+2$ sayısı hem 6'ya hem de 8'e tam bölündüğüne göre, $Y+2$ sayısı 6 ve 8'in en küçük ortak katının (EKOK) bir katı olmalıdır.
6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, ...
8'in katları: 8, 16, 24, 32, ...
EKOK(6, 8) = 24'tür.
$Y+2$ sayısı 24'ün bir katı olmalıdır. Yani $Y+2 = 24n$ şeklinde yazabiliriz (burada $n$ pozitif bir tam sayıdır).
Buradan $Y$ sayısını yalnız bırakırsak: $Y = 24n - 2$ olur.
Şimdi $n$ yerine farklı pozitif tam sayılar yazarak $Y$ değerlerini bulalım ve yumurta sayısının iki basamaklı bir doğal sayı olma koşulunu kontrol edelim:
Eğer $n=1$ ise, $Y = 24(1) - 2 = 22$. (İki basamaklıdır.)
Eğer $n=2$ ise, $Y = 24(2) - 2 = 48 - 2 = 46$. (İki basamaklıdır.)
Eğer $n=3$ ise, $Y = 24(3) - 2 = 72 - 2 = 70$. (İki basamaklıdır.)
Eğer $n=4$ ise, $Y = 24(4) - 2 = 96 - 2 = 94$. (İki basamaklıdır.)
Eğer $n=5$ ise, $Y = 24(5) - 2 = 120 - 2 = 118$. (Üç basamaklıdır, bu yüzden bu ve sonraki değerleri almayız.)
Buna göre, sepetteki yumurta sayısı 22, 46, 70 veya 94 olabilir.
Şimdi bulduğumuz olası yumurta sayılarının rakamları toplamını hesaplayalım:
Yumurta sayısı 22 ise, rakamları toplamı $2+2 = 4$.
Yumurta sayısı 46 ise, rakamları toplamı $4+6 = 10$.
Yumurta sayısı 70 ise, rakamları toplamı $7+0 = 7$.
Yumurta sayısı 94 ise, rakamları toplamı $9+4 = 13$.
Soruda verilen seçeneklere baktığımızda, rakamları toplamı 7 olan tek bir sayı vardır. Bu da yumurta sayısının 70 olduğu durumu gösterir.
Bu durumda, sepetteki yumurta sayısı 70'tir ve bu sayının rakamları toplamı $7+0=7$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
