Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir çemberde verilen merkez açı ve bu açının gördüğü yayın uzunluğunu kullanarak çemberin yarıçapını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Bize verilen merkez açı ($\alpha$) $60^\circ$'dir.
- Bu $60^\circ$'lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu ($L$) $4\pi$ cm'dir.
- Bizden istenen ise çemberin yarıçapı ($r$) kaç cm olduğudur.
- 2. Yay Uzunluğu Formülünü Hatırlayalım:
- Bir çemberde, merkez açının gördüğü yayın uzunluğu, çemberin çevresinin merkez açının $360^\circ$'ye oranına eşittir.
- Çemberin çevresi $2\pi r$ formülüyle bulunur.
- Dolayısıyla, yay uzunluğu formülü şu şekildedir: $L = 2\pi r \times \frac{\alpha}{360^\circ}$.
- 3. Bilgileri Formülde Yerine Koyalım:
- Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım:
- $4\pi = 2\pi r \times \frac{60^\circ}{360^\circ}$
- 4. Denklemi Çözelim ve Yarıçapı Bulalım:
- Öncelikle kesirli ifadeyi sadeleştirelim: $\frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}$.
- Denklemimiz şu hale gelir: $4\pi = 2\pi r \times \frac{1}{6}$.
- Sağ tarafı düzenleyelim: $4\pi = \frac{2\pi r}{6}$.
- Sağ tarafı daha da sadeleştirelim: $4\pi = \frac{\pi r}{3}$.
- Şimdi denklemin her iki tarafında da $\pi$ çarpanı olduğu için $\pi$'leri sadeleştirebiliriz: $4 = \frac{r}{3}$.
- $r$ değerini bulmak için denklemin her iki tarafını $3$ ile çarpalım: $4 \times 3 = r$.
- Buradan $r = 12$ cm sonucunu elde ederiz.
Buna göre, çemberin yarıçapı $12$ cm'dir.
Cevap D seçeneğidir.
