Karmaşık sayılarda bölme Test 2

Bir karmaşık sayıyı $i$ ile böldüğümüzde aşağıdakilerden hangisi gerçekleşir?

A) Sayının modülü değişmez, argümanı $\frac{\pi}{2}$ artar
B) Sayının modülü değişmez, argümanı $\frac{\pi}{2}$ azalır
C) Sayının modülü iki katına çıkar
D) Sayının modülü yarıya iner

Bir karmaşık sayıyı $i$ ile bölme işleminin sonuçlarını adım adım inceleyelim:

• Karmaşık Sayının Genel Gösterimi:

  Bir karmaşık sayıyı $z$ ile gösterelim. Bu sayıyı kutupsal (polar) formda ifade etmek, çarpma ve bölme işlemlerini anlamak için çok kullanışlıdır. Kutupsal formda bir karmaşık sayı $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ şeklinde yazılır. Burada $r$ sayının modülü (orijine olan uzaklığı) ve $\theta$ ise sayının argümanı (pozitif x ekseni ile yaptığı açı) olarak adlandırılır.

• $i$ Sayısının Kutupsal Gösterimi:

  Bölenimiz olan $i$ karmaşık sayısını da kutupsal formda yazalım. $i$ sayısı, karmaşık düzlemde sanal eksen üzerinde, orijinden 1 birim uzaklıkta bulunur. Bu durumda:

  • $i$'nin modülü: $|i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$
  • $i$'nin argümanı: $\arg(i) = \frac{\pi}{2}$ (veya $90^\circ$)

  Yani, $i = 1(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$ şeklinde ifade edilebilir.

• Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi:

  İki karmaşık sayıyı kutupsal formda bölerken, modüller bölünür ve argümanlar çıkarılır. Yani, eğer $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ ve $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ ise, o zaman:

  $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2))$

• $z$ Sayısını $i$ ile Bölme:

  Şimdi $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ karmaşık sayısını $i = 1(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$ ile bölelim:

  $\frac{z}{i} = \frac{r(\cos\theta + i\sin\theta)}{1(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})}$

  Bölme kuralını uygulayalım:

  • Yeni Modül: $\frac{r}{1} = r$. Görüldüğü gibi, sayının modülü değişmez.
  • Yeni Argüman: $\theta - \frac{\pi}{2}$. Sayının argümanı $\frac{\pi}{2}$ kadar azalır.
• Sonucun Yorumlanması:

  Bir karmaşık sayıyı $i$ ile böldüğümüzde, sayının modülü aynı kalır ancak argümanı $\frac{\pi}{2}$ (yani $90^\circ$) kadar azalır. Bu, karmaşık düzlemde sayının orijin etrafında saat yönünde $90^\circ$ döndürülmesi anlamına gelir.

Bu analiz sonucunda, doğru seçeneğin B olduğunu görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.