Bir öğrenci $\frac{a+bi}{c+di}$ karmaşık sayısını hesaplarken pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpmıştır. Bu işlemin amacı aşağıdakilerden hangisidir?
A) Paydanın reel sayı olmasını sağlamakBir karmaşık sayıyı başka bir karmaşık sayıya bölerken, yani $\frac{a+bi}{c+di}$ ifadesini hesaplarken, pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpmak, karmaşık sayılarla yapılan temel bir işlemdir. Bu işlemin amacını adım adım inceleyelim:
Karmaşık Sayı Bölme İşleminin Zorluğu: Karmaşık sayılarla bölme işlemi, reel sayılardaki gibi doğrudan yapılamaz. Yani $\frac{a+bi}{c+di}$ ifadesini $x+yi$ şeklinde yazmak için paydadaki karmaşık sayıdan kurtulmamız gerekir.
Paydanın Eşleniği Nedir?: Bir karmaşık sayı $z = c+di$ ise, bu sayının eşleniği $\bar{z} = c-di$ olarak tanımlanır. Eşlenik, karmaşık sayının sanal kısmının işaretini değiştirir.
Eşlenikle Çarpmanın Temel Özelliği: Bir karmaşık sayıyı kendi eşleniği ile çarptığımızda her zaman bir reel sayı elde ederiz. Örneğin:
$(c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 - d^2(-1) = c^2+d^2$
Gördüğünüz gibi, sonuç olan $c^2+d^2$ ifadesi sadece reel sayılardan oluşur ve sanal kısmı yoktur.
İşlemin Amacı: Bizim amacımız $\frac{a+bi}{c+di}$ ifadesini $x+yi$ şeklinde standart bir karmaşık sayıya dönüştürmektir. Eğer paydadaki $c+di$ karmaşık sayısını eşleniği olan $c-di$ ile çarparsak, payda $c^2+d^2$ gibi bir reel sayıya dönüşür.
Kesrin Değerini Korumak: Bir kesrin değerini değiştirmemek için, paydayı ne ile çarpıyorsak, payı da aynı sayı ile çarpmamız gerekir. Bu yüzden payı da $c-di$ ile çarparız.
Sonuç: İşlem sonunda ifade şu hale gelir:
$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$
Bu son ifade, $x+yi$ formunda bir karmaşık sayıdır; burada $x = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}$ ve $y = \frac{bc-ad}{c^2+d^2}$'dir. Bu dönüşüm, paydanın reel sayı olması sayesinde mümkün olmuştur.
Bu adımlar gösteriyor ki, pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpmanın temel amacı, paydadaki karmaşık sayıdan kurtularak paydayı bir reel sayı haline getirmektir. Bu sayede karmaşık sayının standart $x+yi$ formuna dönüştürülmesi kolaylaşır.
Cevap A seçeneğidir.
