Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, karmaşık düzlemde verilen bir $z$ noktasının orijine olan uzaklığını bulmamız isteniyor. Bir karmaşık sayının orijine olan uzaklığı, o karmaşık sayının mutlak değeri (modülü) anlamına gelir. Yani, $|z|$ değerini bulacağız.
Öncelikle, verilen $z$ karmaşık sayısını $a+bi$ şeklinde standart forma getirmemiz gerekiyor. Ardından, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ formülünü kullanarak uzaklığı hesaplayabiliriz.
- Adım 1: Karmaşık Sayıyı Standart Forma Getirme ($a+bi$ Şeklinde Yazma)
-
Verilen karmaşık sayı $z = \frac{4-3i}{2+i}$ şeklindedir. Paydadaki karmaşık sayıdan kurtulmak için, payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpıyoruz. Paydanın eşleniği $2-i$'dir.
-
$z = \frac{4-3i}{2+i} \times \frac{2-i}{2-i}$
-
Şimdi pay ve paydayı ayrı ayrı çarpalım:
-
Payı Çarpma: $(4-3i)(2-i)$
- $4 \times 2 = 8$
- $4 \times (-i) = -4i$
- $(-3i) \times 2 = -6i$
- $(-3i) \times (-i) = +3i^2$
Hatırlayalım ki $i^2 = -1$'dir. Bu durumda, $+3i^2 = 3(-1) = -3$.
Payımız: $8 - 4i - 6i - 3 = 5 - 10i$
-
Paydayı Çarpma: $(2+i)(2-i)$
Bu ifade, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ özdeşliğine benzer.
$2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 4+1 = 5$
-
Şimdi $z$ karmaşık sayısını yeniden yazalım:
$z = \frac{5-10i}{5}$
-
Bu ifadeyi sadeleştirelim:
$z = \frac{5}{5} - \frac{10i}{5}$
$z = 1 - 2i$
-
Artık karmaşık sayımız $a+bi$ formunda, burada $a=1$ ve $b=-2$'dir.
- Adım 2: Orijine Uzaklığı (Mutlak Değeri) Hesaplama
-
Bir $z = a+bi$ karmaşık sayısının orijine uzaklığı (mutlak değeri), $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ formülü ile bulunur.
-
Bizim durumumuzda $a=1$ ve $b=-2$ olduğu için:
$|z| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2}$
-
$|z| = \sqrt{1 + 4}$
-
$|z| = \sqrt{5}$
Buna göre, $z$ noktasının orijine uzaklığı $\sqrt{5}$ birimdir.
Cevap B seçeneğidir.
