Karmaşık sayılarda bölme Test 2

Bir karmaşık sayının modülü 5, argümanı $\frac{\pi}{3}$ radyandır. Bu sayıyı modülü 2, argümanı $\frac{\pi}{6}$ radyan olan başka bir karmaşık sayıya böldüğümüzde elde edilen sayının modülü kaç olur?

A) $\frac{2}{5}$
B) $\frac{5}{2}$
C) $\frac{3}{2}$
D) $\frac{7}{2}$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, karmaşık sayılarla ilgili önemli bir kavram olan modül ve argümanı kullanarak bölme işlemini nasıl yapacağımızı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Karmaşık Sayıları Tanımlayalım:
• Birinci karmaşık sayıya $z_1$ diyelim.
• $z_1$'in modülü (büyüklüğü) $|z_1| = 5$ olarak verilmiş.
• $z_1$'in argümanı (açısı) $\arg(z_1) = \frac{\pi}{3}$ radyan olarak verilmiş.
• İkinci karmaşık sayıya $z_2$ diyelim.
• $z_2$'nin modülü $|z_2| = 2$ olarak verilmiş.
• $z_2$'nin argümanı $\arg(z_2) = \frac{\pi}{6}$ radyan olarak verilmiş.
• 2. Karmaşık Sayılarda Bölme İşleminin Modül Kuralını Hatırlayalım:
• İki karmaşık sayıyı böldüğümüzde, elde edilen yeni karmaşık sayının modülü, bölünen sayının modülünün bölen sayının modülüne bölünmesiyle bulunur.
• Yani, eğer $z_1$ ve $z_2$ iki karmaşık sayı ise, $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ formülü geçerlidir.
• Bu kural, karmaşık sayıların kutupsal (polar) formdaki gösterimlerinden gelir ve bize sadece modülleri kullanarak sonuca ulaşma kolaylığı sağlar. Argümanlar (açılar) ise yeni sayının argümanını bulmak için çıkarılır, ancak bu soruda sadece modül sorulduğu için argümanlara ihtiyacımız yok.
• 3. Kuralı Uygulayarak Modülü Hesaplayalım:
• Bizden istenen, birinci karmaşık sayının ikinci karmaşık sayıya bölünmesiyle elde edilen sayının modülü. Yani $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|$ değerini bulmalıyız.
• Yukarıdaki kuralı kullanarak: $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$
• Verilen değerleri yerine yazalım: $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{5}{2}$
• 4. Sonucu Belirleyelim:
• Elde edilen sayının modülü $\frac{5}{2}$'dir.

Cevap B seçeneğidir.