Pascal üçgeni ve kombinasyon ilişkisi Test 2

Pascal üçgeninde $n$. satırdaki $k$. elemanın kombinasyon cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\binom{n}{k}$
B) $\binom{n+1}{k}$
C) $\binom{n}{k+1}$
D) $\binom{n-1}{k-1}$

Pascal üçgeni, binom açılımının katsayılarını gösteren ve kombinasyonlarla yakından ilişkili olan bir matematiksel yapıdır. Her satırdaki sayılar, $\binom{n}{k}$ kombinasyon formülüyle ifade edilebilir.

• Öncelikle, Pascal üçgeninin satır ve eleman numaralandırmasına bakalım. Matematikte ve kombinatorikte genellikle satırlar ve elemanlar 0'dan başlayarak numaralandırılır:

  0. Satır: $1 \quad \rightarrow \binom{0}{0}$

  1. Satır: $1 \quad 1 \quad \rightarrow \binom{1}{0}, \binom{1}{1}$

  2. Satır: $1 \quad 2 \quad 1 \quad \rightarrow \binom{2}{0}, \binom{2}{1}, \binom{2}{2}$

  3. Satır: $1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad \rightarrow \binom{3}{0}, \binom{3}{1}, \binom{3}{2}, \binom{3}{3}$

  Bu standart gösterimde, $i$. satırdaki $j$. eleman (hem satır hem de eleman numarası 0'dan başlayarak) $\binom{i}{j}$ şeklinde ifade edilir.

• Soru metninde "n. satır" ve "k. eleman" ifadeleri kullanılmıştır. Bu tür ifadeler genellikle 1'den başlayan sıralamayı (1. satır, 2. satır, 1. eleman, 2. eleman gibi) işaret eder.

• Şimdi bu 1'den başlayan numaralandırmayı, 0'dan başlayan standart kombinasyon gösterimine uyarlayalım:

  • Eğer satır numarası 1'den başlıyorsa, $n$. satır, 0'dan başlayan numaralandırmaya göre $(n-1)$. satıra karşılık gelir. Örneğin, 1. satır (1-indexed) aslında 0. satırdır (0-indexed), 2. satır (1-indexed) ise 1. satırdır (0-indexed).
  • Benzer şekilde, eğer eleman numarası 1'den başlıyorsa, $k$. eleman, 0'dan başlayan numaralandırmaya göre $(k-1)$. elemana karşılık gelir. Örneğin, 1. eleman (1-indexed) aslında 0. elemandır (0-indexed), 2. eleman (1-indexed) ise 1. elemandır (0-indexed).

• Bu durumda, 1'den başlayan numaralandırmaya göre $n$. satırdaki $k$. elemanı bulmak için, 0'dan başlayan numaralandırmadaki $\binom{i}{j}$ formülünde $i$ yerine $(n-1)$ ve $j$ yerine $(k-1)$ yazmalıyız.

• Böylece, Pascal üçgeninde $n$. satırdaki $k$. elemanın kombinasyon cinsinden ifadesi $\binom{n-1}{k-1}$ olur.

Cevap D seçeneğidir.