Bu soruda, $(x+y)^4$ ifadesinin açılımındaki katsayıların Pascal üçgeninin hangi satırında bulunduğunu bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken, Pascal üçgeninin binom açılımlarıyla olan ilişkisini hatırlamamız çok önemlidir.
-
Pascal Üçgeni ve Binom Açılımları Arasındaki İlişki:
Pascal üçgeni, $(a+b)^n$ şeklindeki ifadelerin açılımındaki katsayıları bulmak için kullanılan harika bir araçtır. Genel kural şudur: $(a+b)^n$ ifadesinin açılımındaki katsayılar, Pascal üçgeninin $(n+1)$. satırında bulunur. Burada $n$, binomun kuvvetini temsil eder.
-
Sorudaki İfadeyi İnceleyelim:
Bize verilen ifade $(x+y)^4$'tür. Bu ifadede, binomun kuvveti (üssü) $n=4$'tür.
-
Katsayıların Bulunduğu Satırı Belirleyelim:
Yukarıdaki kurala göre, üs $n=4$ olduğu için, $(x+y)^4$ ifadesinin açılımındaki katsayılar Pascal üçgeninin $(4+1)$. satırında, yani $5$. satırında bulunacaktır.
-
Pascal Üçgenini Oluşturarak Kontrol Edelim:
İsterseniz, Pascal üçgeninin ilk birkaç satırını yazarak bu durumu daha net görebiliriz:
1. Satır (kuvvet $n=0$ için): $1$
2. Satır (kuvvet $n=1$ için): $1 \ 1$
3. Satır (kuvvet $n=2$ için): $1 \ 2 \ 1$
4. Satır (kuvvet $n=3$ için): $1 \ 3 \ 3 \ 1$
5. Satır (kuvvet $n=4$ için): $1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1$
Gördüğümüz gibi, 5. satırdaki katsayılar $1, 4, 6, 4, 1$'dir. Bu katsayılar, $(x+y)^4 = 1x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + 1y^4$ açılımının katsayılarıdır. Bu da kuralımızı doğrulamaktadır.
Bu durumda, $(x+y)^4$ ifadesinin açılımındaki katsayılar Pascal üçgeninin 5. satırında bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
