Pascal üçgeni ve kombinasyon ilişkisi Test 2

Pascal üçgeninde 10. satırdaki en büyük değer kaçtır?

A) 120
B) 210
C) 252
D) 300

Merhaba sevgili öğrenciler!

Pascal üçgeni, matematik dünyasının en zarif yapılarından biridir ve birçok ilginç özelliğe sahiptir. Bu soruda, Pascal üçgeninin 10. satırındaki en büyük değeri bulacağız. Haydi adım adım ilerleyelim!

• 1. Pascal Üçgeni ve Satır Numaralandırması:

  Pascal üçgeninde satırlar genellikle 0'dan başlayarak numaralandırılır. Yani:

  • 0. satır: 1
  • 1. satır: 1 1
  • 2. satır: 1 2 1
  • ... ve bu şekilde devam eder.

  Bize 10. satır sorulduğu için, $n=10$ olan satıra bakacağız.

• 2. Pascal Üçgeni Değerleri ve Binom Katsayıları:

  Pascal üçgenindeki her bir değer, binom katsayıları ile ifade edilebilir. $n$. satırdaki $k$. eleman (0'dan başlayarak) $\binom{n}{k}$ şeklinde gösterilir. Bu formül şu şekildedir:

  $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

  10. satırın elemanları $\binom{10}{0}, \binom{10}{1}, \binom{10}{2}, \dots, \binom{10}{10}$ olacaktır.

• 3. Bir Satırdaki En Büyük Değeri Bulma:

  Pascal üçgeninin her satırı simetriktir. Değerler 1'den başlar, artar, en büyük değerine ulaşır ve sonra tekrar 1'e düşer. Bir satırdaki en büyük değer, satırın tam ortasında yer alır.

  Eğer satır numarası $n$ çift ise, en büyük değer tam ortadaki $\binom{n}{n/2}$ elemanıdır.

  Eğer satır numarası $n$ tek ise, en büyük değerler ortadaki iki eleman olan $\binom{n}{(n-1)/2}$ ve $\binom{n}{(n+1)/2}$ olacaktır (bu iki değer birbirine eşittir).

  Bizim durumumuzda $n=10$ (çift sayı) olduğu için, en büyük değer ortadaki eleman olan $k = \frac{10}{2} = 5$ konumundaki değer olacaktır. Yani $\binom{10}{5}$'i hesaplamamız gerekiyor.

• 4. Değeri Hesaplama:

  Şimdi $\binom{10}{5}$ değerini hesaplayalım:

  $\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!}$

  Açılımını yapalım:

  $\binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5!}$

  Pay ve paydadaki $5!$ faktöriyellerini sadeleştirelim:

  $\binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

  Şimdi sadeleştirmeleri yapalım:

  • $5 \times 2 = 10$, bu da paydaki 10 ile sadeleşir. (Geriye $1 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$ kalır)
  • $4 \times 3 = 12$. Paydaki 8 ve 6'yı bu 12 ile sadeleştirebiliriz. Veya tek tek:
  • $\frac{9}{3} = 3$
  • $\frac{8}{4} = 2$
  • $\frac{6}{1} = 6$

  Yani elimizde kalanlar: $1 \times 3 \times 2 \times 7 \times 6$

  Çarpma işlemini yapalım:

  $1 \times 3 = 3$

  $3 \times 2 = 6$

  $6 \times 7 = 42$

  $42 \times 6 = 252$

  Böylece 10. satırdaki en büyük değerin 252 olduğunu buluruz.

Cevap C seçeneğidir.