Bir zar 4 kez atılıyor. Tam olarak 2 kez 6 gelme olasılığını hesaplamak için Pascal üçgeninin hangi satırı kullanılır?
A) 3. satır
B) 4. satır
C) 5. satır
D) 6. satır
Bu soru, belirli bir sayıda denemede (zar atışı) belirli bir olayın (6 gelmesi) tam olarak kaç kez gerçekleştiğini bulma olasılığı ile ilgilidir. Bu tür problemler binom olasılık problemleri olarak adlandırılır.
Bir binom olasılık probleminde iki temel parametre vardır:
$n$: Toplam deneme sayısı. Sorumuzda zar 4 kez atıldığı için $n=4$'tür.
$k$: İstenen başarılı olay sayısı. Sorumuzda tam olarak 2 kez 6 gelmesi istendiği için $k=2$'dir.
Pascal üçgeni, binom açılımlarındaki katsayıları (binom katsayıları) verir. Bu katsayılar, $n$ denemede $k$ başarının kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini gösterir ve $\binom{n}{k}$ şeklinde ifade edilir.
Pascal üçgeninin satırları genellikle $n$ değerine karşılık gelir. Ancak satır numaralandırması farklı şekillerde yapılabilir. En yaygın iki numaralandırma şöyledir:
0. satır: 1 (Bu satır $n=0$ denemeye karşılık gelir.)
1. satır: 1 1 (Bu satır $n=1$ denemeye karşılık gelir.)
2. satır: 1 2 1 (Bu satır $n=2$ denemeye karşılık gelir.)
3. satır: 1 3 3 1 (Bu satır $n=3$ denemeye karşılık gelir.)
4. satır: 1 4 6 4 1 (Bu satır $n=4$ denemeye karşılık gelir.)
Sorumuzda $n=4$ olduğu için, Pascal üçgeninin $n=4$ denemeye karşılık gelen satırını kullanmamız gerekir. Yukarıdaki numaralandırmaya göre bu, 4. satırdır (eğer 0'dan başlayarak sayarsak).
Ancak, bazı kaynaklarda Pascal üçgeninin satırları 1'den başlayarak numaralandırılır ve ilk satır sadece '1'den oluşur. Bu durumda:
1. satır: 1 (Bu satır $n=0$ denemeye karşılık gelir.)
2. satır: 1 1 (Bu satır $n=1$ denemeye karşılık gelir.)
3. satır: 1 2 1 (Bu satır $n=2$ denemeye karşılık gelir.)
4. satır: 1 3 3 1 (Bu satır $n=3$ denemeye karşılık gelir.)
5. satır: 1 4 6 4 1 (Bu satır $n=4$ denemeye karşılık gelir.)
Seçeneklere baktığımızda (3. satır, 4. satır, 5. satır, 6. satır) ve doğru cevabın C seçeneği (5. satır) olduğu belirtildiğinden, sorunun bu ikinci numaralandırma sistemini kullandığı anlaşılmaktadır. Yani, $n$ deneme için $(n+1)$. satır kullanılır.
Bizim durumumuzda $n=4$ deneme olduğu için, $4+1=5$. satır kullanılacaktır. Bu satırın elemanları 1, 4, 6, 4, 1'dir. Bu elemanlar $\binom{4}{0}, \binom{4}{1}, \binom{4}{2}, \binom{4}{3}, \binom{4}{4}$ değerlerine karşılık gelir. Tam olarak 2 kez 6 gelme olasılığını hesaplarken $\binom{4}{2}=6$ katsayısını kullanırız.
