Bu soruda bir üçgende dış açıortayların oluşturduğu açıyı kullanarak tepe açısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve konuyu iyice anlayalım.
- Dış Açıları Belirleyelim:
- Bir üçgende bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı $180^\circ$'dir.
- $m(\angle ABC)$ iç açısı için dış açı $180^\circ - m(\angle ABC)$'dir.
- $m(\angle ACB)$ iç açısı için dış açı $180^\circ - m(\angle ACB)$'dir.
- Dış Açıortayları Kullanalım:
- [BD], B köşesindeki dış açının açıortayıdır. Bu durumda $m(\angle CBD)$ açısı, B köşesindeki dış açının yarısıdır.
- $m(\angle CBD) = \frac{180^\circ - m(\angle ABC)}{2} = 90^\circ - \frac{m(\angle ABC)}{2}$
- [CD], C köşesindeki dış açının açıortayıdır. Bu durumda $m(\angle BCD)$ açısı, C köşesindeki dış açının yarısıdır.
- $m(\angle BCD) = \frac{180^\circ - m(\angle ACB)}{2} = 90^\circ - \frac{m(\angle ACB)}{2}$
- $BDC$ Üçgenindeki Açıları Toplayalım:
- $BDC$ üçgeninin iç açıları toplamı $180^\circ$'dir.
- $m(\angle BDC) + m(\angle CBD) + m(\angle BCD) = 180^\circ$
- Verilen $m(\angle BDC) = 40^\circ$ değerini ve yukarıda bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım:
- $40^\circ + \left(90^\circ - \frac{m(\angle ABC)}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{m(\angle ACB)}{2}\right) = 180^\circ$
- $40^\circ + 180^\circ - \left(\frac{m(\angle ABC) + m(\angle ACB)}{2}\right) = 180^\circ$
- Eşitliğin her iki tarafından $180^\circ$'yi çıkaralım:
- $40^\circ - \left(\frac{m(\angle ABC) + m(\angle ACB)}{2}\right) = 0^\circ$
- $\frac{m(\angle ABC) + m(\angle ACB)}{2} = 40^\circ$
- $m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 80^\circ$
- $ABC$ Üçgenindeki Açıları Kullanalım:
- $ABC$ üçgeninin iç açıları toplamı da $180^\circ$'dir.
- $m(\angle BAC) + m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 180^\circ$
- Yukarıda bulduğumuz $m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 80^\circ$ değerini bu denklemde yerine yazalım:
- $m(\angle BAC) + 80^\circ = 180^\circ$
- $m(\angle BAC) = 180^\circ - 80^\circ$
- $m(\angle BAC) = 100^\circ$
Bu tür sorularda, dış açıortayların oluşturduğu açı ile üçgenin tepe açısı arasında özel bir ilişki olduğunu unutmayın: $m(\angle BDC) = 90^\circ - \frac{m(\angle BAC)}{2}$. Bu formülü kullanarak da aynı sonuca hızlıca ulaşabiliriz:
- $40^\circ = 90^\circ - \frac{m(\angle BAC)}{2}$
- $\frac{m(\angle BAC)}{2} = 90^\circ - 40^\circ$
- $\frac{m(\angle BAC)}{2} = 50^\circ$
- $m(\angle BAC) = 100^\circ$
Cevap C seçeneğidir.
