Geometrik ortalama nedir Test 2

Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları geometrik ortalaması 6√2 olacak şekilde değiştiriliyor. Dikdörtgenin alanı 72 cm² olduğuna göre, çevresi kaç cm'dir?

A) 24
B) 28
C) 32
D) 36

Bu problemde bir dikdörtgenin kenar uzunlukları ve alanı hakkında bilgi verilmiş, bizden çevresini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Tanımlayalım:

  Dikdörtgenin kenar uzunluklarına $a$ ve $b$ diyelim.

• 2. Geometrik Ortalama Bilgisini Kullanalım:

  Soruda, kenar uzunluklarının geometrik ortalamasının $6\sqrt{2}$ olduğu belirtiliyor. İki sayının geometrik ortalaması, bu sayıların çarpımının kareköküdür. Yani:

  $\sqrt{a \cdot b} = 6\sqrt{2}$

  Bu denklemin her iki tarafının karesini alarak $a \cdot b$ değerini bulalım:

  $(\sqrt{a \cdot b})^2 = (6\sqrt{2})^2$

  $a \cdot b = 6^2 \cdot (\sqrt{2})^2$

  $a \cdot b = 36 \cdot 2$

  $a \cdot b = 72$

• 3. Alan Bilgisini Kontrol Edelim:

  Soruda dikdörtgenin alanının $72 \text{ cm}^2$ olduğu da belirtilmiş. Dikdörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımıdır:

  $Alan = a \cdot b = 72 \text{ cm}^2$

  Gördüğümüz gibi, geometrik ortalama bilgisiyle bulduğumuz $a \cdot b = 72$ değeri, verilen alan bilgisiyle tamamen tutarlıdır. Bu, kenar uzunluklarının çarpımının $72$ olduğunu kesinleştirir.

• 4. Çevreyi Bulmak İçin Kenar Uzunluklarını Belirleyelim:

  Dikdörtgenin çevresi $2(a+b)$ formülüyle bulunur. Bizim $a \cdot b = 72$ bilgimiz var. $a$ ve $b$ değerleri $72$'nin çarpanları olmalıdır. Farklı çarpan çiftleri farklı çevre değerleri verebilir. Ancak seçeneklerde tek bir doğru cevap olduğu için, $a$ ve $b$'nin belirli bir çifti bu cevabı vermelidir. $72$'nin çarpan çiftlerini ve bunlara karşılık gelen çevreleri inceleyelim:

  Eğer $a=1, b=72$ ise, çevre $2(1+72) = 2(73) = 146$ cm olur.

  Eğer $a=2, b=36$ ise, çevre $2(2+36) = 2(38) = 76$ cm olur.

  Eğer $a=3, b=24$ ise, çevre $2(3+24) = 2(27) = 54$ cm olur.

  Eğer $a=4, b=18$ ise, çevre $2(4+18) = 2(22) = 44$ cm olur.

  Eğer $a=6, b=12$ ise, çevre $2(6+12) = 2(18) = 36$ cm olur.

  Eğer $a=8, b=9$ ise, çevre $2(8+9) = 2(17) = 34$ cm olur.

  Seçeneklere baktığımızda, $36$ cm'nin (D seçeneği) listede olduğunu görüyoruz. Bu durumda dikdörtgenin kenar uzunlukları $6$ cm ve $12$ cm olmalıdır.

• 5. Çevreyi Hesaplayalım:

  Kenar uzunlukları $6$ cm ve $12$ cm olan bir dikdörtgenin çevresi:

  $Çevre = 2(a+b) = 2(6+12) = 2(18) = 36 \text{ cm}$

Cevap D seçeneğidir.