Koordinat düzleminde A(-2,0), B(4,0) ve C(1,5) noktaları veriliyor. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktası ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Üçgenin iç bölgesindedirSevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasının (ortosantr) nerede bulunduğunu bulmamız isteniyor. Ortosantrın konumu, üçgenin açılarının türüne göre değişir. Hadi adım adım inceleyelim:
Ortosantrın konumu, üçgenin açılarının türüne göre değişir:
• Eğer üçgen dar açılı ise, ortosantr üçgenin iç bölgesindedir.
• Eğer üçgen dik açılı ise, ortosantr dik açının olduğu köşededir.
• Eğer üçgen geniş açılı ise, ortosantr üçgenin dış bölgesindedir.
Bu nedenle, öncelikle üçgenin dar açılı, dik açılı veya geniş açılı olup olmadığını belirlememiz gerekiyor.
Verilen noktalar: $A(-2,0)$, $B(4,0)$ ve $C(1,5)$.
Üçgenin kenarlarının eğimlerini veya vektörlerini kullanarak açıları hakkında bilgi edinebiliriz. En kolay yol, her bir köşedeki açının dar, dik veya geniş olup olmadığını anlamak için kenar vektörlerinin skaler çarpımına (nokta çarpımına) bakmaktır.
İki vektörün skaler çarpımı pozitifse aralarındaki açı dar, sıfırsa dik, negatifse geniş açıdır.
A köşesindeki açı için ($\angle A$):
A noktasından çıkan $\vec{AB}$ ve $\vec{AC}$ vektörlerini bulalım:
$\vec{AB} = (4 - (-2), 0 - 0) = (6, 0)$
$\vec{AC} = (1 - (-2), 5 - 0) = (3, 5)$
Skaler çarpım: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (6)(3) + (0)(5) = 18 + 0 = 18$.
Skaler çarpım pozitif ($18 > 0$) olduğu için $\angle A$ dar açıdır.
B köşesindeki açı için ($\angle B$):
B noktasından çıkan $\vec{BA}$ ve $\vec{BC}$ vektörlerini bulalım:
$\vec{BA} = (-2 - 4, 0 - 0) = (-6, 0)$
$\vec{BC} = (1 - 4, 5 - 0) = (-3, 5)$
Skaler çarpım: $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-6)(-3) + (0)(5) = 18 + 0 = 18$.
Skaler çarpım pozitif ($18 > 0$) olduğu için $\angle B$ dar açıdır.
C köşesindeki açı için ($\angle C$):
C noktasından çıkan $\vec{CA}$ ve $\vec{CB}$ vektörlerini bulalım:
$\vec{CA} = (-2 - 1, 0 - 5) = (-3, -5)$
$\vec{CB} = (4 - 1, 0 - 5) = (3, -5)$
Skaler çarpım: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-3)(3) + (-5)(-5) = -9 + 25 = 16$.
Skaler çarpım pozitif ($16 > 0$) olduğu için $\angle C$ dar açıdır.
Yaptığımız hesaplamalar sonucunda üçgenin tüm iç açılarının ($\angle A$, $\angle B$ ve $\angle C$) dar açı olduğunu gördük. Bu durumda, $ABC$ üçgeni bir dar açılı üçgendir.
Dar açılı üçgenlerde yüksekliklerin kesişim noktası (ortosantr) her zaman üçgenin iç bölgesinde yer alır.
Cevap A seçeneğidir.
