7. Bir bütçe planlamasında, gelir \( G(x) = 4000 + 200x \) ve gider \( C(x) = 3000 + 300x \) fonksiyonlarıyla veriliyor (x: ay). Hangi aydan sonra bütçe açık vermeye başlar?
A) 8Sevgili öğrenciler, bu problemde bir bütçe planlaması yapıyoruz ve belirli bir aydan sonra bütçemizin neden açık vereceğini bulmaya çalışıyoruz. Bütçe açığı, giderlerimizin gelirlerimizden fazla olması durumudur. Hadi adım adım inceleyelim:
Bize verilen iki fonksiyon var:
Gelir fonksiyonu: $G(x) = 4000 + 200x$
Gider fonksiyonu: $C(x) = 3000 + 300x$
Burada $x$, ay sayısını temsil ediyor. Yani her ay, gelirimiz ve giderimiz $x$'e bağlı olarak değişiyor.
Bir bütçe, giderler gelirleri aştığında açık verir. Matematiksel olarak bu durumu şöyle ifade edebiliriz: Giderler > Gelirler. Yani $C(x) > G(x)$ olmalıdır.
Şimdi verilen fonksiyonları kullanarak bu eşitsizliği yazalım:
$3000 + 300x > 4000 + 200x$
Amacımız $x$ değerini bulmak. Bunun için $x$'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
Önce $200x$'i eşitsizliğin sol tarafına atalım (işareti değişir):
$3000 + 300x - 200x > 4000$
Şimdi $x$'li terimleri birleştirelim:
$3000 + 100x > 4000$
Şimdi de $3000$'i eşitsizliğin sağ tarafına atalım (işareti değişir):
$100x > 4000 - 3000$
Sağ tarafı hesaplayalım:
$100x > 1000$
Son olarak, $x$'i yalnız bırakmak için her iki tarafı $100$'e bölelim:
$x > \frac{1000}{100}$
$x > 10$
Eşitsizliğin çözümü $x > 10$ olarak bulundu. Bu ne anlama geliyor? Bu, 10. aydan sonraki tüm aylarda (yani 11. ay, 12. ay ve sonrası) giderlerin gelirleri aşacağı ve bütçenin açık vereceği anlamına gelir.
Soru "Hangi aydan sonra bütçe açık vermeye başlar?" diye sorduğu için, 10. aydan sonraki ilk ay olan 11. ayda bütçe açık vermeye başlayacaktır.
Cevap D seçeneğidir.
